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2025-2026学年度高中数学必修一
1.1-2.2基本不等式滚动测试卷（基础）
考试范围：必修一第一章第二章2.1-2.2；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．命题“，”的否定是“，”.
C．与表示同一个集合
D．设p，q是简单命题，若是真命题，则也是真命题
5．已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．“”的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．若、为实数，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．给定集合，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，以下结论正确的是（ ）
A．集合不为闭集合；
B．集合为闭集合；
C．集合为闭集合；
D．若集合为闭集合，则为闭集合．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列四个命题中，假命题是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．方程组的解集是
B．若集合中只有一个元素，则
C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4
11．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．设命题甲为，命题乙为，那么甲是乙的充分不必要条件
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( )
A． B．
C． D．
13．若，则的最小值为 ．
14．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．已知命题，，命题，.若p为真命题、q为假命题，求实数m的取值范围.
16．（1），，求证：；
（2）已知，求的取值范围.
17．已知集合A＝{x|2m－118．某县经济开发区一电子厂生产一种学习机，该厂拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该学习机的年销售量(即该厂的年产量)万台与年促销费用万元()满足 (为常数),如果不搞促销活动,则该学习机的年销售量只能是万台.已知2020年生产该学习机的固定投入为万元.每生产万台该产品需要再投入万元,厂家将每台学习机的销售价格定为每台产品年平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大
19．设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C C A C ACD CD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】根据不等式性质求解．
【详解】，∴同号，又，从而同号，所以，而，所以，B正确．
时，A错，时，都错．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．
2．A
【分析】，，，分别是自然数集，整数集，有理数集，实数集，依次判断即可．
【详解】解：，，，分别是自然数集，整数集，有理数集，实数集；
故，，，，所以，正确，，错误，
故选：A．
3．C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为正数x，y满足，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是4.
故选：C.
4．D
【解析】根据充分条件、含量词命题的否定、复合命题真假性等知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于，，，则错误；
对于，根据含全称量词命题的否定可知原命题的否定为：，，则错误；
对于表示以为元素的集合，则错误；
对于，若是真命题，则均为真命题，那么为真命题，则正确.
故选：.
【点睛】本题考查简易逻辑部分知识的综合应用，涉及到充分条件的判定、复合命题的真假性、含量词的命题的否定等知识.
5．C
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】由题意可得：非空集合可有两类：
第一类是中不含奇数：；
第二类是中只含有一个奇数：，
所以这样的集合A的个数为5个.
故选：C.
6．C
【分析】举出反例可判断A、B、D，由不等式的性质可判断C.
【详解】对于A，若,取，此时，故A错误；
对于B，若取，则，故B错误；
对于C，若，则，左右两边同乘，所以 ，故C正确；
对于D，若,取，但，故D错误.
故选：C.
7．A
【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，若，则，此时有，
若，则，此时有，
所以，若，则“或”，
即“”“或”；
若“或”，若，不妨取，，则；
若，不妨取，，则.
所以，“”“或”.
因此，“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
8．C
【分析】由闭集合的定义判断AC；举例判断BD.
【详解】对于A，，有，且，则集合为闭集合，故A错误；
对于B，因为，但，故B错误；
对于C，设，，则，
，则集合为闭集合，故C正确；
对于D，设，
则，但，故D错误.
故选：C.
9．ACD
【分析】取，可判断A；取，可判断B；根据绝对值的定义，可判断C；取，可判断D
【详解】对于A中，当时，不成立，所以命题“”是假命题；
对于B中，取时，，所以命题“”为真命题；
对于C中，根据绝对值的定义，可得恒成立，所以命题“”是假命题；
对于D中，当时，，所以命题“”为假命题.
故选：ACD
10．CD
【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D.
【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误；
对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意；
当时，需满足，可得，因此或，故B错误；
对于C，由可知一元二次方程的判别式，
即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；
若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负，
即，也即，所以必要性成立，故C正确；
对于D，由可知是集合的子集，
所以集合可以是，，，共4个，故D正确.
故选：CD.
11．BD
【分析】A．考虑为负数的情况并判断对错；B．先求解出绝对值不等式的解集，然后再根据互相推出的情况判断对错；C．通过对应范围的大小判断对错；D．根据互相推出的情况判断对错.
【详解】A．时，有可能是负数，故选项A错误；
B．由可得，解得，所以由能推出，
由不能推出，所以甲是乙的充分不必要条件，故选项B正确；
C．且的范围比的范围要小，应为充分不必要条件，故选项C错误；
D．因为不能推出且可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选项D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，难度一般.判断充分、必要条件的问题，除了可以直接通过互相推出的情况判断出结果，还可以根据条件所对应的范围去判断结果：小范围可以推出大范围.
12．C
【详解】由题可得
故选：C
13．2
【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
14．
【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为集合，当时，集合，符合；
当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：.
15．
【分析】根据命题的真假，转化为问题恒成立或有解问题，列出对应不等式组，可得答案.
【详解】由命题p是真命题，则，对恒成立，即对恒成立.
当时，，所以，即；
由命题q是假命题，则，使得为真命题，即关于x的方程有实数根：
①当时，有实数根；
②当时；依题意得，即且，
综上①②，可得.
因为p为真命题、q为假命题，所以实数m的取值范围是.
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用作差法结合已知条件证明即可；
（2）令，整理后求出，然后利用不等式的性质可求得结果.
【详解】（1），
因为，所以，
又，所以，
即.
（2）令，
所以，解得，
所以，
因为，所以，
又，所以，
故的取值范围为.
17．∪(1，＋∞)
【详解】试题分析：因为A∩B≠ ，所以2m－1<3m＋2，且2m－1<-2或3m＋2>5,解不等式得实数m的取值范围
试题解析：若A∩B＝ ，分A＝ 和A≠ 讨论：
(1)若A＝ ，则2m－1≥3m＋2，
解得m≤－3，此时A∩B＝ ；
(2)若A≠ ，要使A∩B＝ ，
则应有即
所以－≤m≤1.
综上，当A∩B＝ 时，
m≤－3或－≤m≤1，
所以当m取值范围为∪(1，＋∞)时
A∩B≠ .
18．（1）；（2）万元.
【解析】(1)由已知条件可求出，结合题意即可求出利润的表达式.
(2)结合基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，解得，
每件产品销售价格为，利润，
即.
（2）因为，所以，当时，
即时，取到等号，即，
故该厂2020年的促销费用投入万元时，厂家获得利润最大值为万元.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
19．（1）或；（2）或或或或
.
【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；
（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围.
【详解】由题意，
（1）由可知，，
即是方程的解，
所以，
即，解得：或，
当时，则，解得，
此时，满足，
当时，则，解得，
此时，满足.
所以实数的值是或；
（2）
，
所以 ，
对于方程，
①当，即时，此时，满足条件；
②当时，，即，，不满足条件；
③当时，即时，此时只需且，
将2代入方程得，解得或，
将代入方程得，解得，
所以且且，
综上可知，的取值范围是：
或或或或
答案第2页，共8页
答案第1页，共8页

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