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3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时） 过关练
2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
2．函数在上的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．5
3．设函数在区间的最大值和最小值分别为，则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
4．设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ）
A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2
5．已知函数的定义域为，且满足下列性质：
①；②
则下列说法一定正确的为（ ）
A．在上无最小值 B．在上单调递减
C．在上有最小值 D．在上单调递增
6．若函数在区间内的最大值为3，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3或5
7．若函数的最小值是8，则实数m的值为（ ）
A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10
二、多选题
8．已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（ ）
A．4 B． C．-4 D．
9．若函数的最小值为，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．已知函数的最小值为，则的可能取值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
11．已知函数下列结论正确的是（ ）
A．若的最大值为1，则
B．若的解集为，则的取值范围是
C．若在上单调递增，则的取值范围是
D．当时，恒成立
三、填空题
12．函数的最大值为 .
13．函数在上的最小值为 ．
14．函数的最小值为 ．
15．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，若存在最大值，则的取值范围是 .
四、解答题
17．（1）求二次函数在上的最小值；
（2）求函数在闭区间上的最小值．
18．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)判断在上的单调性并利用定义法证明；
(3)求在上的最大值.
19．已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B C A A AD BC AB
题号 11
答案 BCD
1．D
【分析】利用一次函数在上的单调性可求得的值域为，即可得出结论.
【详解】易知在定义域上单调递增，
所以可得，
即函数的值域为，所以既无最大值又无最小值.
故选：D
2．B
【分析】由对勾函数的单调性求解.
【详解】由对勾函数的单调性知,
函数在上单调递增，
所以．
故选：B
3．C
【分析】先应用常数分离得,再根据函数的单调性得出最值即可.
【详解】因为，所以在上是减函数．
所以．所以．
故选：C.
4．B
【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围.
【详解】由题意得其图象如下图所示：
令得；
令得或1.
当，时，取得最大值4；
当，时，取得最小值1.
所以的最大值和最小值分别为4，1.
故选：B
5．C
【分析】利用题给条件构造函数，结合二次函数的性质，即可得到在上不一定单调递增或单调递减，在上有最小值.
【详解】由于函数的定义域为，且，
令，则，
得，抛物线对称轴为
由可得，
解之得，则，
故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定，
由于表示开口向上的抛物线，
故函数在取得最小值，即在上有最小值.
故选项C正确，选项A错误．
故选：C
6．A
【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【详解】，当时，，不符合题意；
当，即时，在内单调递减，，符合题意；
当，即时，在内单调递增，，
解得，与矛盾，舍去．
综上所述，．
故选：
7．A
【分析】根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解.
【详解】因为，
所以，解得或，
故选：A
8．AD
【分析】根据二次函数对称轴与所给区间，分类讨论即可得解.
【详解】函数的对称轴为，开口向上.
当时，函数在区间上单调递增，
所以，解得或，
因为，所以；
当，即时，函数在区间上单调递减，
所以，解得或，
因为，所以；
当时，在上递减，在上递增，所以，不合题意；
综上：实数a可能的取值或.
故选：AD
9．BC
【分析】由基本不等式求得当，时的范围，进而可求解.
【详解】当时，；
当时：，当且仅当，即时等号，此时.
当时，，当且仅当，即时等号，此时，
综上，.
若，则，由题，所以；
若，则，由题，所以，
故选：BC.
10．AB
【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可.
【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数，
，对称轴为，
当时，
当时，，
要想函数的最小值为，只需，即，
显然选项AB符合，
当时，
当时，，显然不是，
综上所述：只有选项AB符合条件，
故选：AB
11．BCD
【分析】根据分段函数解析式，结合分式型、二次函数的性质研究的区间单调性、值域，注意讨论参数a.
【详解】当时，，在上单调递增，且.
当时，，且开口向下，
当时，在上单调递增且恒成立，
在处连续，所以在上单调递增.
当时，在上单调递增，在上单调递减.
若的最大值为1，则，解得或2（舍去），A错误.
当时，恒成立，D正确.
若的解集为，则的取值范围是，B正确.
若在R上单调递增，则a的取值范围是，C正确.
故选：BCD
12．/
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
13．
【分析】根据二次函数性质直接求解即可.
【详解】函数对称轴为，函数图象开口向上，
所以函数在上的最小值为.
故答案为：
14．/
【分析】运用函数单调性求最值即可.
【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为.
在内单调递减，在也是单调递减，
则在定义域内单调递减，则.
故答案为：．
15．
【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可.
【详解】解法一 、令，
①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．
②当时，的图象的对称轴方程为，
若，则在上单调递减，则只需满足，得；
若，则，且时已满足条件．
综上，实数的取值范围为．
解法二、时，，由得，
则在上有解．
令，则当时，；
当时，，
又在单调递增，所以，即，
故实数的取值范围为．
故答案为：.
16．
【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】当时，在上值域为，显然不存在最大值；
当时，在上，而在上最大值为，满足题设；
当时，在上值域为，
若时，在上最大值为，
此时，故存在最大值，满足题设；
若时，在上最大值为，
此时只需，则，即，
故，存在最大值，满足题设；
综上，.
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）易知函数图象的对称轴是，再分， 和 讨论求解；
（2）由，分设， ，讨论求解.
【详解】解：（1）∵函数图象的对称轴是，
∴当时，在上是增函数，
∴.
当时，在上是减函数，
∴.
当时，.
设在的最小值为.
∴
（2）.
设在上的最小值为.
当时，在上是增函数，
∴；
当，即时，；
当即时，在上是减函数，
∴.
综上，.
18．(1)；
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解.
（2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可.
（3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）因为，所以，即
因为，所以．
（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，所以，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（3）当时，由（2）知在上单调递减，所以；
当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，.
19．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可；
（2）由单调性的定义作差即可求证；
（3）利用单调性求得最值，即可求解；
【详解】（1），，
，解得，.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
，，且，
，，，
，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由（2）知函数在上单调递增，
由对勾函数性质得在上单调递减，
函数在上的最大值为，
由知，，所以的最小值为.
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