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3.2.2 奇偶性（第1课时） 过关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数不是常数函数,若对任意实数x,y都有,则
A．是奇函数 B．是偶函数 C．不具有奇偶性 D．无法确定奇偶性
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
6．若函数是奇函数，则实数（ ）
A．0 B． C．1 D．
7．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对 “函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中假命题是 （ ）
A．函数是奇函数 B．，，
C．函数是偶函数 D．，，
二、多选题
8．已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ 　　 ）
A． B．
C．函数的定义域为 D．函数的最小值为
9．表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为R； B．的值域为；
C．是偶函数； D．的单调增区间为.
10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．的值域为
三、填空题
11．已知定义在上的奇函数，当时，，则 ．
12．函数对任意的实数，都满足：（a）（b），且（2），则 .
13．下列函数为偶函数的是 （填序号）．
①；②；③；④．
14．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是 （填“奇”或“偶”）函数.
15．设是定义在上的奇函数，则
16．若函数为奇函数，则实数 ．
四、解答题
17．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
18．已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
19．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A A C C A BC AD ABD
1．D
【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.
【详解】函数不是奇函数，故A不正确；
函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；
函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；
的图象如图：
所以函数是奇函数且是增函数.
故选：D
2．C
【解析】根据题意令,可得，即可判断函数不是奇函数，令,若为偶函数,可得，，再结合题意可判断函数不是偶函数，从而可得选项.
【详解】解析:由题意知对任意,都有,
令,得,
∵不恒为零,即存在,使得,
∴,∴不是奇函数,
令,得.
若为偶函数,则.
∴,这与题设相矛盾,
∴不是偶函数.
综上可知不具有奇偶性.
故选：C
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，通常采用“赋值法”进行推理证明，此题属于基础题.
3．A
【分析】利用奇函数定义，列式计算即得.
【详解】由函数是奇函数，得，则，解得，
函数定义域为，是奇函数，
所以.
故选：A
4．A
【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，得到，
显然，由图象关于轴对称，得到，解得，
所以，满足要求，
得到.
故选：A.
5．C
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误；
故选：C.
6．C
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】当时，则，
则，解得，
此时，
当时，所以，符合题意.
所以.
故选：C
7．A
【分析】取为有理数计算判断A；取计算判断B；求出，再利用奇偶性定义判断C；按是有理数、无理数计算判断D.
【详解】对于选项，若是有理数，则也是有理数，则，因此不是奇函数，故错误；
对于选项B，当时，，
，此时，故B正确；
对于选项C，若是有理数，则；若是无理数，，，
，又，则，因此，函数是偶函数，故正确；
对于选项D，若是有理数，，则均是有理数，则；
若是无理数，，则均是无理数，则，
因此，故D正确.
故选：A.
8．BC
【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，可判断A选项；利用二次函数的对称性可判断B选项；求出函数的定义域，可判断C选项；利用二次函数的最值可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为函数是偶函数，且其定义域为，
则，解得，A错；
对于B选项，二次函数的对称轴方程为，可得，B对；
对于C选项，因为，，即函数定义域为，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
9．AD
【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解.
【详解】对于A，的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，，，
所以不是偶函数，故C错误；
对于D，当时，，表示的小数部分，
作出函数图象如图所示：

所以的单调递增区间为，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域.
【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确；
对于B，由，，
，故B正确；
对于C，，，则，
所以函数在上不满足单调递减，故C错误；
对于D，由，，令，则，且，
，，
，即，
由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确.
故选：ABD.
11．
【分析】根据奇函数性质及已知解析式求函数值即可.
【详解】由题设.
故答案为：
12．
【分析】令，得，令，，得为奇函数，所以.
【详解】由题意知，，，
，
为奇函数.
（2）.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性，考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.
13．③
【分析】利用奇函数、偶函数定义域关于原点对称的性质可得①②④中的函数定义域不关于原点对称，③中满足偶函数定义，即可得出结论.
【详解】对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又②中，由得其定义域为，显然不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；
对于③，其定义域为R，且对都满足，故③是偶函数．
故答案为：③
14．偶
【分析】利用赋值法令,求出,再令,求出与之间的关系即可得到结论.
【详解】因为对任意,恒有成立,
令,,得到,
于是,
而,因此.
令,得,
所以,
得,
即.
所以函数是偶函数.
故答案为：偶
15．
【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可.
【详解】是定义在的奇函数，
，
即，
，且，
解得，或
当时，定义域为，不合题意，舍去；
当时，定义域为，合题意，
，
.
故答案为：.
16．1
【分析】根据条件得到恒成立，即可求出结果.
【详解】由题知，得到，
整理得到恒成立，所以，得到，
故答案为：.
17．(1)
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）由题知，，进而求得答案（注意检验奇函数成立）；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得．
经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．
又，解得，
所以．
（2）解：在上为增函数．证明如下：
在内任取且，
则，
因为，，，，
所以，即，
所以在上为增函数．
18．(1)
(2)为偶函数，证明见解析
【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解；
（2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断.
【详解】（1）令，得，
令，得，
因为，所以，，
令，得，即，
因为，所以，所以.
（2）为偶函数.
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数.
19．(1)奇函数，证明见解析
(2)
(3)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据条件，通过赋值，得到，再赋值，即可证明结果；
（2）通过赋值，得到，再利用（1）中结果，即可求出结果；
（3）根据条件，直接利用函数单调性的定义法，即可证明结果.
【详解】（1）是奇函数，证明如下：
因为，令，得到，
令，得到，即，所以是奇函数.
（2）令，得到，由（1）知是奇函数，
所以.
（3）在上单调递增，证明如下：
在上任取，令，
则，
又因为，而，所以，
即，得到，所以在上单调递增.
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