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3.2.2 奇偶性（第2课时） 过关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．已知偶函数在区间上的解析式为，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．定义在上的偶函数，对任意的都有，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．当时，
10．已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．3
11．设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．存在，使得
三、填空题
12．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， ．
13．已知函数，则的解集为 ．
14．已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是 .
四、解答题
15．设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式．
16．已知函数是定义在区间上的函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集．
17．已知定义在上的函数图象关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式．
18．已知函数是奇函数.
(1)求的值.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值；
(3)若函数满足不等式，求出的范围.
19．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A D A C B AD ABD
题号 11
答案 ABC
1．D
【分析】根据单调性以及奇偶性比较即可.
【详解】由题意得，为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，选项A错误；
因为，所以，选项B错误；
因为，所以选项D正确，选项C错误．
故选：D
2．A
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式.
【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，则.
故选：A
3．C
【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.
【详解】当时，，即有，
再由是定义在上的奇函数，所以，
即有，
所以当时，，
当时，，
综上可得：，
故选：C.
4．A
【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解.
【详解】因为对任意的都有，
所以，即，，即，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，，
所以，
故选：A
5．D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，
所以
所以，解得.
所以的取值范围为.
故选：D.
6．A
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.
【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为.
又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减.
由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得.
故选：A.
7．C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
8．B
【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，
此时函数在单调递增，
故时，，则，，此时函数在单调递增，
且，故，在R上单调递增；
，即，即，
即，即，
故对任意，都有，即恒成立，
由此可得，解得，
即实数m的取值范围为，
故选：B
9．AD
【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案.
【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数，
根据奇函数性质可知，，A正确；
的定义域为R，由于，
则，
即为偶函数，B错误；
C选项，当时，，则，
故，C错误；
D选项，当时，，则，
所以，D正确．
故选：AD．
10．ABD
【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案.
【详解】由题意得.
因为对于任意，都有，
所以对于任意，都有，
设，得在为增函数.
当时，在为减函数，不符合题意.
当时，.
所以可以为1，2，3.
故选：ABD
11．ABC
【分析】通过赋值，，及可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD；
【详解】，
令，可得：，
所以，
令，可得：，
所以，A正确；
令，可得：，
即，偶函数，B正确；
由，可得：，
由函数是偶函数及已知单调性可得：，
易知恒成立，由，可得：；C正确；
由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误；
故选：ABC
12．
【分析】根据奇函数的性质求解
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
13．
【分析】先判断的奇偶性，然后结合的单调性列不等式，由此求得正确答案.
【详解】由题意得的定义域为，
，
所以为偶函数．
当时，在上单调递增，
所以在上单调递减．
由，得，
解得且．
故答案为：
14．
【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
15．，
【解析】利用函数的奇偶性构建关于、的方程组，从而可求、的解析式.
【详解】由有，
又为奇函数，为偶函数，∴．
联立
①－②式，得，
①＋②式，得．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意根据函数的奇偶性构建函数方程组，本题属于中档题.
16．(1)函数为奇函数；
(2)
【分析】（1）通过证明来证得为奇函数.
（2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可.
【详解】（1）由已知，函数的定义域为．
，都有，
．
所以函数为奇函数．
（2）任取，且，则，
那么
因为 ， 所以 ，，，
所以 ，
所以 ，
所以 在上是增函数．
因为，所以，且在上是增函数．
所以，所以，
所以不等式的解集
17．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可；
（2）借助定义法证明即可得；
（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
（2）在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
18．(1)
(2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值；
（2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为在是奇函数，则，
即，可得，解得，故.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
任取、且，
则
，
因为所以，，，
所以，即，
所以是区间上的增函数，
所以函数的最小值为，最大值为.
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由可得，
所以，解得，故实数的取值范围是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；
（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.
【详解】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
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