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2025-2026学年上学期小学数学奥数专项《周期问题》通用版
一、单选题
1．A、B、C、D四个盒子中依次放有8、5、3、2个小球，第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其他盒子中各一个球；第二个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其他盒子中各一个球……当101个小朋友放完后，B盒子中有球（　　）。
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
2．如图，在2006年的3月的日历上，，那么，3月份的第一个星期日是　 　号。
3．个数写成一行，任意三个相邻的数的和均相等，总和。去掉左起第、第、第及最后一个数，和成为，问剩下的数中左起第个数是　 　。
4．今天是星期日，从今天算起第 个 1 天是星期　 　。
5．如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排， 这样就组成了一个多位数：12346781910111213……996997998999．那么在这个多位数里，从左到右的第2000个数字是　 　？
6．一列数3，4，7，11，18，29，47，……，根据这个数列的规律，第2010项除以6的余数是　 　。
7．表示个相乘，那么结果的个位数字是　 　。
8．圆周上放有N枚棋子，如上图所示，小洪先拿走B点的一枚棋子，然后沿顺时针方向每隔一枚棋子拿走两枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A，当将要第10次越过A取走其它子的时候，小洪停下来，发现圆周上剩下20多枚棋子，若已知N是14的倍数，请精确的算出圆周上现在还有　 　枚棋子。
9．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方认得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和　 　。
10．如图，电子跳搔每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在，一只红跳搔从标有数“0”的圆圈按顺时针方向跳了2015步，落在一个圆圈里.一只黑跳搔也从标有数“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1937步，落在另一个圆圈里.那么这两个圆圈里整数的和是　 　。
11．A、B、G，D.E、F六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小明友：A→F，B→D，C→E，D→B，E→A，F→C。开始时，A、B、C、D、E、F拿着各自的玩具，传递完2002轮时，有　 　个小朋友又拿到了自己的玩具。
12．在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2019时对应的指头是　 　。（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）
13．下面两个多位数1248624...、6248624...，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是　 　
14．把 写成小数的形式，那么小数点后的前2021个数字之和等于　 　。
15．按顺时针方向不断取如图中的12个数字，可组成不超过1000的循环小数x，如23.067823，678.30678等，若将x的所有数字从左至右依次相加，在加完某个循环节的所有数字之后，得到2017，则x=　 　。
16．如图，给正五边形的顶点一次编号为1，2，3，4，5。若从某一顶点开始，沿正五边形的顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”，如：小字在编号为3的顶点上时，那么他走3个边长，即从3-4-5-1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点，然后从1-2为第二次“移位”。若小宇从编号为2的顶点开始，第2015次“移位”后，则他所处顶点的编号为　 　。
17．（周期工程）一个水池装有甲、乙、丙三水管。单开甲管，3小时能注满一池水；单开丙管，6小时能注满一池水；单开乙管，4小时能排完一池水。现池中有的水，按甲、乙、丙、甲、乙、丙…的顺序轮流各开1小时，　 　时第一次注满水池。
18．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为 48，我们发现第一次输出的结果为 24，第二次输出的结果为 12，…，则第 2010次输出的结果为　 　。
19．用符号f(x)表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，f(x)= ：当x为奇数时，f(x)=3x+1。例如：f(x)=3x1+1=4，f(8)=4．设x1=8，x2=f(x1)，x2=f(x2)，……，xn=f(xn-1)。以此规律，得到一列数x1，x2，x3……，x2023，则这 2023个数之和x1+x2+x3……+ x2022+x2023=　 　。
20．将分数化成小数后，小数部分的第10507位是数字　 　。
三、解决问题
21．如图，一个正四面体摆在桌面上，正对称的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧棱翻转，此后依次重复上述操作过程．问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色？
22．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行。若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2018次相遇在哪边？
23． 有两个容器，A容器中有1升水，B容器是空的。第一次将A容器里的水的倒入B容器中，然后第二次将B容器里的水的倒回A容器中；第三次再将A容器里的水的倒入B容器中，然后第四次将B容器里的水的倒回A容器中，……如此下去，倒了第九次后，A容器里有多少水？
24．一条圆形跑道长 600 米，因铺设水管，其中跑道上 一段被挖开，形成一个大坑， 的跑道长度为 150 米，有一机器人放在跑道上循环行走，前进的步长（跑道弧长）为 米，可调整步长 的大小，但调后不再改变，并且 小于 600 米，请设计出两种（ 的不同长度）方案，使得机器人不断循环，并且永远不会落入炕里。（碰到 或 也算落入坑里），每种方案包括：
（1） 步长 的值（不同方案的 的值）；
（2） 机器人的出发点。
25．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管。要蓄满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池内有六分之一池水，小明突发奇想如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流开管，每管开1小时，直到水开始溢出水池为止，问多少小时后水开始溢出水池？
26．第二宇宙速度又称为逃逸速度，指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小速度，地球上的“逃逸速度”是 11.2 千米秒，这意味着我们发射火箭，如果速度大于 11.2千米秒，它就能脱离地球的影响而飞到太空上去，大到火箭，小到分子的任何物体都适用。现有一个大气分子，太阳辐射把它的速度提高到 15 千米1秒，已知它与其他分子每碰撞一次，速度依次减少到碰撞前的……，则至少碰撞多少次次才能使它不“逃离”地球。
27．用符号表示关于自然数的代数式，我们规定：当为偶数时，：当为奇数时，。例如： ，，设，，，，以此规律，得到一系列数，，，。则这2023个数之和？
四、解答题
28．有两个容器，A容器中有1升水，B容器是空的，第一次将A容器中的水的倒入B容器中，然后第二次将B容器里的水的倒回A容器中；第三次再将A容器里的水的倒入B容器中，然后第四次将B容器里的水的倒回A容器中；…如此进行下去，倒了第9次后，A容器里有多少水
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】5
3．【答案】36
4．【答案】三
5．【答案】0
6．【答案】1
7．【答案】7
8．【答案】23
9．【答案】7018
10．【答案】18
11．【答案】2
12．【答案】中指
13．【答案】495
14．【答案】9092
15．【答案】
16．【答案】1
17．【答案】
18．【答案】6
19．【答案】4726
20．【答案】3
21．【答案】解：下图演示了4次翻转的过程：
按题述规则进行了4次翻转以后，原来的正四面体ABCD的方向恰好发生了一次完全的变化：底面面对你的棱BC转成了CB，而不与BC在同一平面内的侧棱AD则转成了DA．那么不难想像，再经过规则所述的4次翻转，正四面体ABCD的方向将转回最初的位置．说明这样的翻转是每8次一循环的．
由上述分析可见，题述的翻转以8次为一循环，又因为100÷8=12……4，所以100次翻转操作以后，正四面体ABCD的摆放位置将如图8—11的第五个图形所示，当时面对你的面应为面BCD，其颜色为白色．
答：白色。
22．【答案】解：∵甲的速度是乙的速度的3倍，
∴甲、乙第1次相遇时，乙走了正方形周长的
∴甲、乙第1次相遇在边CD上
∵甲的速度是乙的速度的3倍，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，
∴甲、乙第2次相遇在边AD上，甲、乙第3次相遇在边AB上，甲、乙第4次相遇在边BC上，甲、乙第5次相遇在边CD上，..…
∴甲、乙相遇位置每四次一循环，
∵2018=504×4+2，
∴甲、乙第2018次相遇在边AD上。
23．【答案】解：第一次A还剩下1－＝；
第二次A有＋×＝；
第三次A还剩下×（1－）＝；
第四次A有＋×＝；
第五次A还剩下×（1－）＝；
……
根据规律可以看出，倒了奇数次后，第一个容器中的水量都是，
所以倒了第9次后，A容器还剩下；
×1＝（升）；
答：倒了第9次后，A容器里有升水。
24．【答案】解：方案一：令d= 300米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于150米任一处出发 ，就不会落入坑内。若在距离A或B点150米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离4或B点超过150米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 300米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于150米出发，满足要求。
方案二：令d= 200米，则只要机器人从跑道上除大坑外，距离A、B点小于5o米任一处出发，就不会落入坑内。若在距离A或B点5o米处出发，会到达A或B点从而落入坑内；若在距离A或B点超过5o米处出发，会落入坑内。综上，取步长d= 200米，在跑道上除大坑外， 距离A、B点小于5o米出发，满足要求
25．【答案】解：
答：小时后水开始溢出水池。
26．【答案】解：将原速度看成单位“1”。
碰撞n次后速度就是原速度的：
逃逸速度是原速度的：
设至少碰撞n次才能使它不“逃离”地球，即，解得
所以至少碰撞6次才能使它不“逃离”地球。
答：至少碰撞6次次才能使它不“逃离”地球。
27．【答案】解：∵x1=8，
∴x2=f(x1)=f(8)=4，
x3=f(x2)=f(4)=2，
x4=f(x3)=f(2)=1，
x5=f(x4)=f(1)=4，
...
从x2开始每3次的运算结果循环一次，
∵(2023-1)÷3=674，
∴x2、x3……x2023循环674次，
∴x1+x2+x3+···+x2023 =8+674×(4+2+1)=4726。
28．【答案】解：第一次后，A容器有：=（升）
第二次后，A容器有：+×=（升）
第三次后，A容器有：×（1-）=（升）
第四次后，A容器有：+×=（升）
第五次后，A容器有：×（1-）=（升）
……
发现在进行奇数次后，A容器中剩下升水。
所以，倒了第九次后，A容器里有升水。
答：倒了第九次后，A容器里有升水。
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