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第2章 一元二次方程（培优）
一、单选题
1．一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器平放在桌面，里面盛有高2厘米的水（如图一）； 将这个长方体沿着一条宽旋转90°，平放在桌面（如图二）. 在旋转的过程中，水面的高度最高可以达到 （　　）
A．厘米 B．4厘米 C．3厘米 D．厘米
2．有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
3．设m是整数，关于x的方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（　　）。
A． B．x=-1
C． D．有无数个根
4．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （　　）
A． B． C． D． 或-1
5．设x1，x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（　　）
A．3 B．9 C． D．15
6．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，直线与函数的图象交于点，过点作轴的平行线与函数的图象交于点，直线与图象交于点，当为直角三角形时，的值为　 　．
8．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是　 　.
9．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如min.若，，则值为　 　.
10．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是　 　．
11．关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是　 　
12．如图，在四边形中，，，，E是中点，且，则线段的长度是　 　．
三、计算题
13．小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值． 于是小慧给出一个定义：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式关于 对称；
（2）若关于的多项式关于对称，则 ；
（3）关于的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解．
14．已知实数a满足
，求
的值.
15．有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：
（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
（2）若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
16．解方程或求值：
（1）
（2）
四、解答题
17． 如图1，有一张长为，宽为的长方形硬纸片．
（1）若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当，纸盒的底面积为时，求裁去的正方形边长是多少？
（2）若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？
18． 如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为，出油率为即每花生可加工出花生油现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，已知花生出油率的增长率是产量增长率的，求新品种花生产量的增长率．
19．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的旋转；配方法的应用
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形全等的判定；勾股定理
7．【答案】或．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理
8．【答案】3＜m≤4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
9．【答案】-1或2或
【知识点】实数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
10．【答案】13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
13．【答案】（1）-3
（2）4
（3）解：
，
同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为，
∵关于的多项式关于对称，且最小值为3，
∴，
∴，
∴方程即为方程，
∴，
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
14．【答案】解：∵ ，
∴原等式可变形为： ，
∴ ，
∴ =3或 =-1
当 =-1时，即a2+a+1=0，
△=1-4＜0，方程无解，
∴ =3.
【知识点】配方法解一元二次方程
15．【答案】（1）在甲公司购买6台图形计算器需要6×（800﹣20×6）＝4080（元），
在乙公司购买需要75%×800×6＝3600（元），
因为3600＜4080，所以应去乙公司购买；
（2）设该单位购买x台图形计算器，
若在甲公司购买则需要花费x（800﹣20x）元；
若在乙公司购买则需要花费75%×800x＝600x元；
①若该单位是在甲公司花费7500元购买的图形计算器，
则有x（800﹣20x）＝7500，解之得x1＝15，x2＝25．
当x1＝15时，每台单价为800﹣20×15＝500＞440，符合题意；
当x2＝25时，每台单价为800﹣20×25＝300＜440，不符合题意，舍去．
②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器，
则有600x＝7500，解之得x＝12.5，不符合题意，舍去．
答：该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了15台．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
16．【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
17．【答案】（1）解：设裁去的正方形边长为xcm，
由题意得：(40-2x)(30-2x)=600，
解得：x=5或x=30(不合题意，舍)
答：裁去的正方形边长5cm.
（2）解：延长EF交CD于点P，
∵等边△NEF，
∴NF=EF，∠NFE=60°，
由矩形可得：EF=HK=NF=MQ，FK=FQ，∠NFQ=90°
∴设EF=NF=MQ=HK=2a，
由题意得：四边形CKFP为矩形，
∴FK=PC，FP=KC=BH
设FK=FQ=PC=x，
∵∠NFE=60°，
∴∠QFP=90°-60°=30°，∠FQP=60°，
在Rt△FQP中，，
∴
∵BH+HK+KC=40
∴①，
∵∠MQF =90°，
∴∠MQD=90°-∠FQP=30°，
∴在Rt△MQD中，，
∴由勾股定理得：，
∵l=DQ+PQ+PC
∴
∵①，
∴
过点N作NG⊥EF于点G，则GE=GF=a，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等，，
∴
将代入①，
则①
解得：a=16cm，
∴等边三角形边长为32cm
【知识点】等边三角形的性质；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
18．【答案】解：设新品种花生产量的增长率为，则新品种花生出油率的增长率为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：新品种花生产量的增长率为．
【知识点】一元二次方程的其他应用
19．【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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