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第4章 锐角三角函数（能力提升）
一、单选题
1．如图，为测量某树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时竹竿与这一点相距6m，与树相距15m，则树的高度为（　　）
A．4m B．5m C．7m D．9m
2．在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标（　　）
A．（-3，0） B．（3，0） C．（0，0） D．（1，0）
3．已知相似三角形△ABC和△A′B′C′的面积比为1：4，则它们的相似比为（　　）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1
4．如图是物体AB在焦距为（即）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图.从点A发出的平行于BD的光束折射后经过右焦点F，而经过光心О点的光束不改变方向，最后A点发出的光汇聚于点C，B点发出的光汇聚于点D，从而得到最清晰的实像.若物距，则像距OD为（　　）cm.
A． B． C． D．
5．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则 的值为（　　）
A．1 B． C． -1 D． +1
6．如图，，直线、分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则的长为（　　）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．8
二、判断题
7．在一个比例中，两个外项的积是8，其中一个内项是3，则另一个内项是5。(　　)
三、填空题
8．如图，D是AB上的一点．△ABC∽△ACD，且AD=2，BD=4，∠ADC=65°，∠B=43°，则∠A=　 　，AC=　 　．
9．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为　 　．
10．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设 = ， = 那么向量 用向量 、 表示为　 　．
11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝　 　（用含n的式子表示，n≥1）．
12．如图，六边形ABCDEF与六边形 是位似图形，O为位似中心， ： ：2，则B′C′： 　 　.
13．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 ，则AB：DE=　 　．
四、计算题
14．已知，求和值．
15．求下列比例式中x的值．
（1）（-3）：x=2：（-6）．
（2）x：（x+1）=（1-x）：3．
五、解答题
16．王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 时，为避免上楼时墙角 碰头，设计墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，他量得客厅高 ，楼梯洞口宽 ，阁楼阳台宽 .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，楼梯底端 到墙角 的距离 是多少米？
17．如图，在梯形中，．点P是对角线上的一点．过点P分别作、的平行线，与交于点F，与交于点E．联接交于点G．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
18．已知，且，求值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的判定与性质
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
7．【答案】错误
【知识点】比例的性质
8．【答案】72°；2
【知识点】相似三角形的性质
9．【答案】12
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
10．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索图形规律
12．【答案】1：2
【知识点】相似三角形的判定与性质
13．【答案】2：3
【知识点】位似变换
14．【答案】解：∵，∴a=6b，c=6d．
∴，．
【知识点】比例线段
15．【答案】（1）解：∵(-3)：x=2：(-6)，
∴2x=(-3×(-6)，
；
（2）解：
.
整理，得，
解得.
【知识点】公式法解一元二次方程；比例的性质；利用等式的性质解一元一次方程
16．【答案】解：根据题意，有 ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
∴ .
∴ .
解得 .
∴ .
【知识点】相似三角形的实际应用
17．【答案】（1）证明：，
，
，
．
又，
，
，
，
．
（2）解：，设，．
又，
．
，
，
．
，
，．
，
，，
，
，
，
．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的判定与性质
18．【答案】解：设，
，，，
，
，
，
，
的值为12．
【知识点】比例的性质
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