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2025年秋期湘教版数学九年级上册全册综合题（培优）
一、单选题
1．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米则扶梯的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段a的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．下列函数中，反比例函数是（　　）
A．x（y+1）＝1 B． C． D．
6．的值为（　　）
A．1 B． C． D．
7．已知函数y1（k为常数，且k＞0，x＞0），函数y2的图象和函数y1的图象关于直线y＝1对称．
①函数y2的图象上的点的纵坐标都小于2．②若当m≤x≤2（m为大于0的实数）时，y1的最大值为a，则在此取值范围内，y2的最小值必为2﹣a．则下列判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①②都错误
8．若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．如图，在 轴正半轴上依次截取 ，过点 、 、 、…… 分别作 轴的垂线，与反比例函数 交于点 、 、 、…、 ，连接 、 、… ，过点 、 、…、 分别向 、 、…、 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（　　）.
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点在边上，，分别为，的中点，连接过点作的垂线，与，分别交于，两点连接，交于点有以下判断：；，且；当时，的面积为；的最大值为其中正确的是（　　）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中m的值是　 　.
第一组 第二组 第三组
频数 7 8 M
频率 p q 25%
12．若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　.
13．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为7步，乙的速度为3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了　 　步．
14．如图所示，第二象限内的点A，B在反比例函数y＝ （k≠0），的图象上，∠ACO＝∠ADB＝90°，∠AOC＝45°，tan∠BAD＝3，BD＝6，则OA长为　 　．
15．已知：如图，矩形OABC中，点B的坐标为 ，双曲线 的一支与矩形两边AB，BC分别交于点E，F. 若将△BEF沿直线EF对折，B点落在y轴上的点D处，则点D的坐标是　 　
16．如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．
（1）若，则　 　；
（2）若，，则　 　．
三、计算题
17．请你用直接开平方法解方程：．
18．解方程：
（1）x2﹣6x+2＝0；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2x﹣2；
（4）（x﹣3）（x﹣1）＝15．
19．一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
四、解答题
20．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
21．解方程：．
22．如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？
23．第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火矩塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，D在同一条直线上），请帮小杰计算火矩塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.10，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）
24．在探究欧姆定律时，小明发现小灯泡电路上的电压保持不变，通过小灯泡的电流越大，灯就越亮。设选用小灯泡的电阻为 R(Ω)，通过的电流强度为I(A)(欧姆定律公式：）
（1）若电阻为40 Ω，通过的电流强度为0.30 A，求Ⅰ关于R的函数表达式.
（2）如果电阻小于 40 Ω，那么与(1)中相比，小灯泡的亮度将发生怎样的变化 请说明理由.
25．设函数．
（1）若函数的图象经过点，求的函数表达式．
（2）若函数与的图象关于轴对称，求的函数表达式．
（3）当，函数的最大值为，函数的最小值为，求与的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
4．【答案】B
【知识点】比例线段
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
6．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
9．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
11．【答案】5
【知识点】频数与频率
12．【答案】m≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
13．【答案】24.5
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理
14．【答案】3
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
15．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；勾股定理；相似三角形的性质；求特殊角的三角函数值
16．【答案】 ；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
17．【答案】解：，
，
则，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
18．【答案】（1）解：x2﹣6x＝﹣2，
x2﹣6x+9＝7，
（x﹣3）2＝7，
x﹣3＝± ，
所以x1＝3+ ，x2＝3﹣ ；
（2）解：x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ ，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝± ，
所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（3）解：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝ ；
（4）解：x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
19．【答案】（1）解：将代入，得，，
∴，
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）
（3）解：①当时，轴，∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
20．【答案】解：∵关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即[﹣2（k+1）]2﹣4k2＞0，
解得k＞﹣ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
21．【答案】解：，
，
或，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
22．【答案】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30-2x）（20-x）=6×78，
整理得：（x-2）（x-33）=0，
解得x=2或x=33舍去），
答：通道应设计成2米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
23．【答案】解：设CD＝x米，
在Rt△ACD中，tan42°＝，
∴AD＝，
在Rt△BCD中，tan65°＝，
∴BD＝，
∵AB＝20米，
∴，
解得x≈31．
答：火炬塔CD的高约为31米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
24．【答案】（1）解：（1）根据题意：，
电阻为40Ω，通过的电流强度为0.30A ，
得：U=40×0.3=12
即.
（2）解：当时，，
即小灯泡的亮度将比(1)中更亮.
【知识点】反比例函数的实际应用
25．【答案】解：（1）函数的图象经过点，
，
，
，
，；
（2）函数与的图象关于轴对称，
，
，
，．
（3）当时，函数，的图象在第一、三象限，
根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
，
解得；
当时，函数，的图象在第二、四象限，
根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
，
解得；
当时，函数图象在二、四象限，函数的图象在第一、三象限，
根据题意，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
，不合题意，
故与的值为6、6或、
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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