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第十六章 整式的乘法
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.计算a3·a2的结果是 (　　)
A.a B.a5 C.a6 D.a8
2.计算2x3y4÷-xy3的结果是 (　　)
A.xy B.-x
C.-6x2y D.-6x2y2
3.下列运算正确的是 (　　)
A.(2a3b)2=2a6b2 B.a8÷a2=a6
C.(b-1)2=b2-1 D.(x+6)(x-6)=x2-6
4.若(x-2)(x-4)=x2+mx+8,则m的值为 (　　)
A.2 B.-2
C.6 D.-6
5.已知2a=1,4b=3,则2a+2b的值是 (　　)
A.3 B.6
C.8 D.9
6.如图,C是线段BG上的一点,分别以BC,CG为边向两边作正方形,其面积分别是S1和S2,两正方形的面积和S1+S2=40,已知BG=8,则图中阴影部分面积为 (　　)
A.6
B.8
C.10
D.12
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.计算:-(x3)4=　　　　.
8.计算:(3a2-2ab)÷a=　　　　.
9.已知ab=1,a+b=-3,则(a-1)(b-1)=　　　　.
10.计算2 025×-2 024的结果是　　　　.
11.已知am·an=a4,am÷an=a2,则mn的值为　　　　.
12.若(2x-3)x+5=1,则x的值为　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)计算:(-x)2·4x+(-2x)3.
(2)计算:(2a+b)(2a-b)-b(3a-b).
14.(1)计算:|-5|+-0-.
(2)用简便方法计算:101×99+1.
15.小明在计算a(2+a)-(a-2)2时,解答过程如下:
a(2+a)-(a-2)2
=2a+a2-(a2-4) 第一步
=2a+a2-a2-4 第二步
=2a-4. 第三步
小明的解答从第　　　　步开始出错,请写出正确的解答过程.
16.先化简,再求值:4x(x-2y)-(12x3y2-9x2y3)÷(3xy2),其中x=-2,y=-.
17.老师在黑板上布置了一道题:已知y=-1时,求式子(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)-4xy的值.小贤与小刚展开了下面的讨论:
根据上述情境,你认为谁说的正确.为什么.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.完全平方公式经过适当的变形,可以解决很多数学问题.
例如:若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值.
解:因为a+b=3,ab=1,
所以(a+b)2=9,2ab=2.
所以a2+b2+2ab=9,
所以a2+b2=7.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题:
(1)若a-b=-5,ab=3,则a2+b2=　　　　.
(2)若(a+b)2=17,(a-b)2=13,求a2+b2的值.
19.如图,这是一道例题及部分解答过程,其中A,B是两个关于x,y的二项式.
请仔细观察上面的例题及解答过程,解答下列问题:
(1)直接写出多项式A和B,并求出该例题的运算结果.
(2)求多项式A与B的平方差.
20.如图,某小区有一块长为(3a+2b)米,宽为(2a-3b)米的长方形地块,角上有四个边长为b米的小正方形空地,开发商计划将阴影部分进行绿化.
(1)求该小区绿化的总面积.
(2)若a=10,b=2,绿化成本为50元/平方米,则完成绿化共需要多少钱
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.对x,y定义一种新运算F,规定F(x,y)=ax2+by2(其中a,b是非零常数,且x+y≠0).如:F(3,1)=a×32+b×12=9a+b.若F(-2,0)=4,且F(5,-1)=24.
(1)求a与b的值.
(2)若F(2m-4,-2m)=F(-2m,2m-4),求m的值.
22.若ab=ac(a>0且a≠1,b,c是正整数),则b=c.利用该结论解决下面的问题:
(1)若3x-5=34,则x=　　　　.
(2)若8m+1=215,求m的值.
(3)若3n+2-3n+1=54,求n的值.
六、解答题(本大题共12分)
23.数学兴趣小组成员在查阅资料时发现了一位杰出的数学家,他们决定对这位数学家的发现展开微项目探索,请你跟随探索脚步,根据素材,完成【任务规划】【项目成效】和【拓展应用】.
【驱动问题】
探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘.
【核心概念】
素材1:杨辉是我国南宋时期杰出的数学家,在其所著的《详解九章算法》中记载了如图1所示源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”,我们把这个表叫作“杨辉三角”.
素材2:我们知道,(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2.利用多项式的乘法运算,还可以得到(a+b)3=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3.当a+b≠0时,将计算结果中多项式(以a降次排序)各项的系数排列成表,可得到图2.
【任务规划】
(1)请根据素材1和素材2直接写出:
①(a+b)4展开式中a3b的系数是　　　　;
②(a+b)10展开式中所有项的系数和为　　　　.
【项目成效】
(2)成果展示:若(2x-1)2 025=a1x2 025+a2x2 024+a3x2 023+…+a2 024x2+a2 025x+a2 026,求a1+a2+a3+…+a2 024+a2 025的值.
【拓展应用】
(3)“杨辉三角”的应用很广泛,例如“堆垛术”,图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的小球摆放而成的,从上至下每层小球的个数依次为1,3,6,10,…,记第n层的小球数为an,请直接写出++…+的值.
参考答案
1.B　2.C　3.B　4.D　5.A　6.A
7.-x12　8.3a-2b　9.5　10.　11.3　12.-5或2或1
13.(1)解:原式=x2·4x+(-8x3)=4x3-8x3=-4x3. 3分
(2)解:原式=4a2-b2-3ab+b2=4a2-3ab. 3分
14.解:(1)原式=5+1-3=3. 3分
(2)原式=(100+1)(100-1)+1=1002-1+1=10 000. 6分
15.解:一. 2分
正确的解答过程如下:
a(2+a)-(a-2)2
=2a+a2-(a2-4a+4)
=2a+a2-a2+4a-4
=6a-4. 6分
16.解:原式=4x2-8xy-4x2+3xy
=-5xy. 4分
当x=-2,y=-时,
原式=-5×-2×-=-5. 6分
17.解:小刚说得正确. 2分
理由:∵(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)-4xy
=4x2+4xy+y2-4x2+y2-4xy
=2y2, 5分
∴只要知道y的值即可求得所求式子的值,∴小刚说的正确. 6分
18.解:(1)31. 3分
(2)因为(a+b)2=17,(a-b)2=13,
所以(a+b)2+(a-b)2=30,
所以a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=30,
即2a2+2b2=30,
所以a2+b2=15. 8分
19.解:(1)A=2x-3y,B=2x+3y,
原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y. 4分
(2)A2-B2=(2x-3y)2-(2x+3y)2=4x2-12xy+9y2-4x2-12xy-9y2=-24xy. 8分
20.解:(1)(3a+2b)(2a-3b)-4b2
=6a2+4ab-9ab-6b2-4b2
=6a2-5ab-10b2.
答:该小区绿化的总面积为(6a2-5ab-10b2)平方米. 4分
(2)当a=10,b=2时,
原式=6×102-5×10×2-10×22=460,
∴50×460=23 000.
答:完成绿化共需要23 000元. 8分
21.解:(1)∵F(-2,0)=4,
∴a×(-2)2+b×02=4,
∴a=1.
∵F(5,-1)=24,
∴a×52+b×(-1)2=24,
∴25a+b=24,
∴b=24-25=-1,
∴a=1,b=-1. 5分
(2)∵F(2m-4,-2m)=F(-2m,2m-4),
∴1×(2m-4)2+(-1)×(-2m)2=1×(-2m)2+(-1)×(2m-4)2,
∴4m2+16-16m-4m2=4m2-4m2-16+16m,
∴32m=32,
∴m=1. 9分
22.解:(1)9. 3分
(2)因为8m+1=215,
所以(23)m+1=215,
所以23m+3=215,
所以3m+3=15,
解得m=4. 6分
(3)因为3n+2-3n+1=54,
所以3n+1×3-3n+1×1=54,
所以3n+1×(3-1)=54,
所以3n+1=27,
所以3n+1=33,
所以n+1=3,
解得n=2. 9分
23.解:(1)①4. 2分
②210. 4分
(2)∵(2x-1)2 025=a1x2 025+a2x2 024+a3x2 023+…+a2 024x2+a2 025x+a2 026,
∴当x=0时,a2 026=(-1)2 025=-1,
当x=1时,a1+a2+a3+…+a2 024+a2 025+a2 026=1,
∴a1+a2+a3+…+a2 024+a2 025=2. 9分
(3)++…+=++…+=. 12分
提示:由题意可得a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,an=1+2+…+n=,
∴a2 024=,
∴++…+=++…+
=21-+-+…+-
=21-=.

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