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第十三章 三角形
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下面是小强用三根火柴组成的图形,其中符合三角形概念的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.下列各组图形中,BD是△ABC高的图形是 (　　)
A. B.
C. D.
3.周末小贤和朋友到森林公园游玩,想要估计园内湖岸A,B两点之间的距离,如图,小贤在湖的一侧选取了一点O,测得OA=20 m,OB=8 m,则A,B间的距离可能是 (　　)
A.10 m B.22 m
C.30 m D.32 m
4.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,点D在AC上,延长EA交CB的延长线于点F,∠ABC=∠ADE=90°,∠C=30°,∠E=45°,则∠F的度数是 (　　)
A.20°
B.25°
C.10°
D.15°
5.将一张三角形纸片剪开分成两个三角形,则这两个三角形不可能 (　　)
A.都是直角三角形
B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
6.花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注,运动员通过冰刀在冰面上划出图形,并表演跳跃、旋转等高难度动作.某位运动员在冰面上滑出了如图所示的几何图形,利用所学知识可计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 (　　)
A.180° B.240°
C.270° D.360°
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.在日常生活中,我们通常采用如图所示的方法(斜钉上一块木条)来修理一张摇晃的椅子,请用数学知识说明这样做的依据:　　　　　　　　.
8.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若BE=3,则BC=　　　　.
9.已知在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,如果按角分类,那么△ABC是　　　　三角形.
10.实验发现,平面镜反射光线的规律:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图,平面镜MN放置在水平地面CD上,一束光线AO照射到镜面MN上,反射光线为OB,点B在斜坡BE上,若∠AOC=35°,∠BED=75°,则∠OBE的度数为　　　　.
11.如图,∠ACB=100°,OA平分∠BAC,OB平分∠ABC,则∠AOB=　　　　°.
12.已知在△ABC中有两个内角相等,AD,CE分别是△ABC的高线与角平分线,且AD,CE相交于点F,若∠B=70°,则∠CFD的度数为　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)一张小凳子的结构图如图所示,∠1=∠2,∠3=100°,求∠1的度数.
(2)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.求证:∠ACD=∠B.
14.如图,AC,BD相交于点O.求证:∠A+∠B=∠C+∠D.
15.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10.求AB,AC的长.
16.如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC,BE⊥AD于点E,若∠BAC=56°,求∠DBE的度数.
17.请仅用无刻度的直尺按要求作图:
(1)如图1,AD,BE是△ABC的角平分线,且相交于点O,请你作出∠C的平分线.
(2)如图2,AC与BD相交于点O,且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平分线.
图1　　　　　　　　　　　　　图2
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.已知一个三角形的一边长为9 cm,另一边长为2 cm,设第三边的长为x cm.
(1)求第三边的长x的范围.
(2)当第三边的长为奇数时,求三角形的周长.
19.如图,在△ABC中,∠CAE=18°,∠C=42°,∠CBD=27°.
(1)求∠AFB的度数.
(2)若∠BAF=2∠ABF,求∠BAF的度数.
20.如图,这是一张三角形纸片ABC,∠C=100°,∠B=30°,将∠B进行折叠,折痕为DE.
(1)如图1,当点B与点A重合时,求∠CAE的度数.
(2)如图2,当点B落在△ABC内部的B'时,求∠1+∠2的度数.
图1　　　　　　　　　　　　图2
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,AB=10 cm.若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm.设运动的时间为t秒.
(1)当t=　　　　时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分.
(2)当t为何值时,△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半
22.我们发现,用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法.请你用等面积法来探究下列两个问题:
(1)如图1,在△ABC中,AB=2,BC=4,AD与CE是△ABC的高,求的值.
(2)如图2,在△ABC中,∠C=90°,D,E分别在BC,AB上,且∠BDE=∠BAC,CD=DE,求证:=.
图1　　　　　　　　　　　　　　　图2
六、解答题(本大题共12分)
23.探究发现:
(1)如图1,在△ABC中,P是内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点,试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.
迁移拓展:
(2)如图2,在△ABC中,P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点,即∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD,试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.
应用创新:
(3)如图3,AD,BE相交于点C,∠ABC,∠CDE,∠ACE的平分线交于点P,∠A=35°,∠E=25°,则∠BPD=　　　　　.
参考答案
1.C　2.B　3.B　4.D　5.C　6.A
7.三角形具有稳定性　8.12　9.直角　10.40°　11.140
12.55°或62.5°或70°　提示:如图1,当∠B=∠ACB=70°时,依题意,可得∠ADC=90°,∠DCF=35°,所以∠CFD=55°;如图2,当∠BAC=∠ACB时,依题意,可得∠ADC=90°,∠ACB=55°,所以∠DCF=27.5°,所以∠CFD=62.5°;如图3,当∠B=∠CAB=70°时,依题意,可得∠ADC=90°,∠BCA=40°,所以∠DCF=20°,所以∠CFD=70°.
图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3
13.(1)解:∵∠3是∠1,∠2的外角,
∴∠3=∠1+∠2.
∵∠1=∠2,∠3=100°,
∴∠1=∠3=×100°=50°. 3分
(2)证明:∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴∠BCD+∠B=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B. 3分
14.证明:∵∠A+∠B+∠AOB=180°,
∴∠A+∠B=180°-∠AOB. 2分
同理可得∠C+∠D=180°-∠COD.
又∵∠AOB=∠COD,
∴180°-∠AOB=180°-∠COD, 5分
∴∠A+∠B=∠C+∠D. 6分
15.解:∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD, 1分
∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2,
即AB-AC=2①. 3分
又∵AB+AC=10②,
①+②得2AB=12,
解得AB=6. 4分
②-①得2AC=8,
解得AC=4,
∴AB=6,AC=4. 6分
16.解:∵∠BAC=56°,AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠BAC=28°,
∴∠C+∠ABC=180°-56°=124°.
∵∠ABC=3∠C,
∴∠C=31°,
∴∠ABC=93°, 4分
∴在Rt△ABE中,∠ABE=62°,
∴∠DBE=∠ABC-∠ABE=93°-62°=31°. 6分
17.解:(1)如图1,CF为所作. 3分
(2)如图2,OF为所作. 6分
图1　　　　　　　　　　　　　　图2
18.解:(1)∵三角形的一边长为9 cm,另一边长为2 cm,
∴9-2即7(2)由(1)知7∵第三边的长为奇数,
∴第三边的长为9 cm,
∴三角形的周长为20 cm. 8分
19.解:(1)∵∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=42°,∠CAE=18°,
∴∠AEB=60°. 2分
∵∠CBD=27°,
∴∠BFE=180°-27°-60°=93°,
∴∠AFB=180°-∠BFE=87°. 4分
(2)∵∠BAF=2∠ABF,∠BFE=93°,
∴3∠ABF=93°,
∴∠ABF=31°,
∴∠BAF=62°. 8分
20.解:(1)∵∠C=100°,∠B=30°,
∴∠BAC=180°-100°-30°=50°.
由折叠可知∠DAE=∠B=30°,
∴∠CAE=∠BAC-∠DAE=50°-30°=20°. 3分
(2)由折叠可知∠B'ED=∠BED,∠B'DE=∠BDE,
在△BDE中,∠BED+∠BDE=180°-∠B=150°,
∴∠B'EB+∠B'DB=2(∠BED+∠BDE)=2×150°=300°.
∵∠B'EB+∠1=180°,∠B'DB+∠2=180°,
∴∠1+∠2=360°-(∠B'EB+∠B'DB)=360°-300°=60°. 8分
21.解:(1)6. 3分
(2)∵三角形的中线平分三角形的面积,
∴当P为AB边的中点或P为AC边的中点时,△BCP的面积恰好等于△ABC面积的一半. 4分
当P为AB边的中点时,即AP=AB=5.
∵点P运动的路程2t=AC+AP, 6分
∴2t=8+5,
解得t=. 7分
当P是AC的中点时,此时PC=AC=4,t==2.
综上所述,满足条件的t的值为或2. 9分
22.解:(1)∵S△ABC=AB·CE=BC·AD,AB=2,BC=4,
∴×2·CE=×4·AD,
∴=. 4分
(2)证明:∵∠C=90°,
∴∠B+∠BAC=90°. 5分
又∵∠BDE=∠BAC,
∴∠B+∠BDE=90°,∠BED=90°. 6分
∵CD=DE,
∴==,即=. 9分
23.解:(1)猜想:∠A=2∠P. 1分
证明:∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD.
∵∠ACD是△ABC的外角,∠PCD是△BPC的外角,
∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠ACD=∠ABC+∠A,
∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P,
∴∠A=2∠P. 4分
(2)猜想:∠A=n∠P. 5分
证明:∵P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠ACD.
∵∠ACD是△ABC的外角,∠PCD是△BPC的外角,
∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P,
∴∠ACD=∠ABC+∠A,
∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P,
∴∠A=n∠P. 10分
(3)30°. 12分
提示:∵∠ABC,∠CDE,∠ACE的平分线交于点P,
∴由(1)的结论知,∠BPC=∠A=17.5°,∠CPD=∠E=12.5°,
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC=30°.

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