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第十四章 全等三角形
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.下列图形中,是全等形的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知△ABC≌△DEF,且∠A与∠D是对应角,∠B和∠E是对应角,则下列说法正确的是 (　　)
A.AC与DF是对应边 B.AC与DE是对应边
C.AC与EF是对应边 D.不能确定AC的对应边
3.如图,点B,E,C,F在同一直线上,△ABC≌△DEF,BC=8,BF=12.5,则EC的长为 (　　)
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
4.如图,小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是 (　　)
A.AB,BC,CA B.AB,BC,∠B C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC
5.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,且AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是 (　　)
A.24 B.30 C.32 D.36
6.如图, AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.有下列说法:①CE=BF;②△ABD和△ACD的面积相等;③BF∥CE;④△BDF≌△CDE. 其中正确的有 (　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.如图,△ACE≌△DBF,若∠A=66°,∠E=78°,则∠FBD的度数为　　　　.
8.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,∠DAC=35°,则∠ACB的度数为　　　　°.
9.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DF,若要用“斜边直角边(HL)”证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件:　　　　　　.
10.“三月三,放风筝”,如图,这是小明制作的风筝,他根据DE=DF,EH=FH,不用测量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的知识得到的结论,则小明判定三角形全等的依据是　　　　(用字母表示).
11.如图,D是AB延长线上一点,DF交AC于点E,AE=CE,FC∥AB,若AB=3,CF=5,则BD的长是　　　　.
12.如图,AB=4 cm,AC=3 cm,AC⊥AB,BD⊥AB.点P在射线AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,Q是射线BD上一动点,且满足PC=PQ.当点P运动　　　　s时,△APC与以P,B,Q为顶点的三角形全等.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(1)如图,△ABE≌△DCE,点A,C,B在一条直线上,∠AED和∠BEC相等吗 为什么
(2)如图,BE=CD,∠B=∠C,求证:△ABE≌△ACD.
14.某海边公园“一帆船造型”景点的设计如图所示,其中点B,E,C,F在同一条直线上.如果AB∥DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗 为什么
15.如图,AB=DC,AC=DB.求证:∠A=∠D.
下面是两名同学的对话:
方方说:“根据条件,找不到全等三角形.”
圆圆说:“如果添加辅助线,就可以找到全等三角形了.”
请根据提示,给出证明.
16.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
17.如图,在△ABC中,AB=AC, ∠ABC=∠ACB.请分别在图中作出△ABC中BC边上的高,请仅用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹).
(1)如图1,BD=DC.
(2)如图2,M,N分别是AB,AC上的点,且MB=NC.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题,并证明这个命题.(只写出一种情况)
①AB=AC;
②DE=DF;
③BE=CF.
已知:EG∥AF,　　　　,　　　　.
求证:　　　　　.
证明:
19.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=AC,E是BD上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.
(1)求证:AE=AD.
(2)若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.
20.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.求证:
(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.小明与爸爸妈妈在公园荡秋千.小明坐在秋千上的起始位置A处,起始位置OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他,妈妈用力一推,爸爸在C处接住他.已知妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF,CG分别为1.8 m和2.2 m,∠BOC=90°.
(1)△CGO与△OFB全等吗 请说明理由.
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小明
22.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点D,延长BD交AC于点E,点G,F分别在BD,BC上,连接DF,GF,其中∠A=2∠BDF,GD=DE.
(1)当∠A=80°时,求∠EDC的度数.
(2)求证:CF=FG+CE.
六、解答题(本大题共12分)
23.综合与实践
【课本再现】
教材上告诉了我们一种作已知角的平分线的方法.
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N;
(2)分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,射线OC即所求(如图1).
(1)如图1,请你证明OC为∠AOB的平分线.
【继续探究】
(2)如图2,OC平分∠AOB,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,CM=CN.
①求证:ME=NF.
②若CE=3,OE=5,则四边形ONCM的面积为　　　　.
③猜想OE,ON,EM之间的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图3,在四边形OFCE中,CE=CF,∠E=∠F=90°,若点G在OE上,∠GCN=∠ECF,猜想GN,GE,NF之间的数量关系,并说明理由.
图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　图3
参考答案
1.A　2.A　3.D　4.C　5.B　6.D
7.36°　8.15°　9.BC=EF(或BE=CF)　10.SSS　11.2　12.1或2或7
13.(1)解:相等. 1分
理由:∵△ABE≌△DCE,∴∠DEC=∠AEB, 2分
∴∠DEC-∠AEC=∠AEB-∠AEC,即∠AED=∠BEC. 3分
(2)证明:在△ABE与△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(AAS). 3分
14.解:AC∥DF. 1分
理由:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS), 4分
∴∠ACB=∠F,
∴AC∥DF. 6分
15.证明:如图,连接BC,
在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SSS), 5分
∴∠A=∠D. 6分
16.证明:∵D是BC的中点,∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BED和△CFD都是直角三角形. 1分
在Rt△BED与Rt△CFD中,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL), 3分
∴DE=DF, 4分
在Rt△AED与Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD,
∴∠EAD=∠FAD,
∴AD平分∠BAC. 6分
17.解:(1)如图1,AE即所求. 3分
(2)如图2,AF即所求. 6分
18.解:(答案不唯一)AB=AC;DE=DF;BE=CF. 3分
证明:∵EG∥AF交BC于点G,
∴∠EGB=∠ACB,∠GED=∠CFD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EGB,
∴EB=EG.
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD(ASA),
∴EG=FC,
∴BE=CF. 8分
19.解:(1)证明:∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA), 3分
∴AE=AD. 4分
(2)∵∠ACB=65°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°.
∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠COD,
∴∠BDC=∠BAC=50°. 8分
20.证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
在Rt△DCF和Rt△EDB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB. 4分
(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.
在△ADC与△ADE中,
∵
∴△ADC≌△ADE(HL), 7分
∴AC=AE,
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB. 8分
21.解:(1)△CGO与△OFB全等. 1分
理由如下:
由题意可知∠BFO=∠OGC=90°,OB=OC.
∵∠BOC=90°,
∴∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°,
∴∠COG=∠OBF.
在△CGO和△OFB中,
∴△CGO≌△OFB(AAS). 4分
(2)∵△CGO≌△OFB,
∴CG=OF,OG=BF.
∵BF=1.8 m,CG=2.2 m,
∴FG=OF-OG=CG-BF=2.2-1.8=0.4(m).
∵妈妈在距地面1.2 m高的B处接住小明,
∴点F距地面的高度是1.2 m,∴点G距地面的高度是1.2+0.4=1.6(m),
∴点C距地面的高度是1.6 m. 8分
答:爸爸是在距离地面1.6 m的地方接住小明的. 9分
22.解:(1)∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=50°,
∴∠EDC=∠DBC+∠DCB=50°. 3分
(2)证明:如图,在BC上取点M,使CM=CE.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD.
在△CDE和△CDM中,
∴△CDE≌△CDM(SAS),
∴DE=DM,∠DEC=∠DMC,∠EDC=∠MDC.
∵GD=DE,∴GD=MD.
∵∠DEC+∠AEB=180°,∠DMC+∠DMF=180°,
∴∠AEB=∠DMF.
∵∠A=2∠BDF,
∴∠BDM=2∠BDF,∴∠FDM=∠BDF.
在△DGF和△DMF中,
∴△DGF≌△DMF(SAS),∴GF=MF,
∴CF=CM+FM=CE+GF,∴CF=FG+CE. 9分
23.解:(1)如图1,连接CM,CN.
图1
由作图方法可知OM=ON,CM=CN.
又∵OC=OC,
∴△OCM≌△OCN(SSS), 1分
∴∠AOC=∠BOC,
∴OC为∠AOB的平分线. 2分
(2)①证明:∵OC平分∠AOB,CE⊥OA,CF⊥OB,
∴CE=CF,∠CEM=∠CFN.
在Rt△CME与Rt△CNF中,
∴Rt△CME≌Rt△CNF(HL),
∴ME=NF. 4分
②15. 6分
提示:由①得Rt△CME≌Rt△CNF,
∴S△CME=S△CNF,
∴S四边形ONCM=S四边形ONCE+S△CME
=S四边形ONCE+S△CNF
=S四边形OFCE
=S△OCF+S△OCE=×3×5+×3×5=15.
③OE=ON+EM. 7分
理由:由①得CE=CF,ME=NF.
在Rt△OCE与Rt△OCF中,
∴Rt△OCE≌Rt△OCF(HL),
∴OE=OF,
∴OE=OF=ON+NF=ON+EM,
即OE=ON+EM. 8分
(3)GN=GE+NF. 9分
理由:如图2,延长OE至点M,使得CM=CN,连接OC. 10分
图2
由(2)中①得ME=NF,∠MCE=∠NCF.
∵∠GCN=∠ECF,
∴∠ECG+∠NCF=∠ECF,
∴∠GCM=∠ECG+∠MCE=∠ECG+∠NCF=∠ECF,
∴∠GCN=∠GCM.
在△GCM与△GCN中,
∴△GCM≌△GCN(SAS), 11分
∴GM=GN.
∵GM=GE+EM=GE+NF,
∴GN=GE+NF. 12分

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