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第十五章 轴对称
(时间:120分钟　分值:120分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.书法是我国传统文化的重要组成部分,下列用小篆书写的“志存高远”四个字,其中可以看作是轴对称图形的是 (　　)
A.　　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D.
2.在如图所示的轴对称图形中,E,C的对应点分别是F,B,且AB=8,AE=3,则EC的长为 (　　)
A.2 B.2.5 C.3 D.5
3.如图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB的度数为 (　　)
A.100° B.108°
C.120° D.144°
4.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD.若BC=7,则AC的长可能为 (　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 (　　)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.不等边三角形
D.不能确定形状
6.如图,P(m,n)为△ABC内一点,将△ABC经过平移得到△A'B'C',平移后点P与其对应点P'关于x轴对称,若点B的坐标为(-2,1),则点B的对应点B'的坐标为 (　　)
A.(-2,1-2n)
B.(-2,1-n)
C.(-2,-1)
D.(m,-1)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.如图,∠A=30°,∠C=90°,BC=2,则AB的长为　　　　.
8.如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,则△ABC中∠B的度数为　　　　.
9.命题“直角三角形锐角互余”的逆命题是:　　　　　　　　　　　　　　　.
10.如图,在三角形纸片ABC中,折痕DE分别与AC,BC交于D,E两点,若∠C=45°,则∠ADE+∠BED的度数为　　　　.
11.如图,在△ABC中,AB=AC=5,F是BC边上任意一点,过点F分别作FD⊥AB于点D,FE⊥AC于点E,若S△ABC=10,则FE+FD=　　　　.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠DAC=40°,P为线段AC上的一点,BQ为△BCP的角平分线.当△ABP为等腰三角形时,∠BQA的大小为　　　　.
三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)图中点C的对应点是点　　　　,∠B的对应角是　　　　.
(2)若∠BAC=108°,∠BAE=30°,求∠EAF的度数.
14.如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在边AB,AC的延长线上,连接DE,且DE∥BC.求证:△ADE是等边三角形.
15.如图,“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒PB,PD组成,两根棒在P点相连并可绕点P转动,C点固定,CP=OC=OA,点O,A可在槽中滑动,若∠AOB=75°,求∠P的度数.
16.如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E为BC下方一点,且AE=BE.请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.
(1)在图1中,过点E作AB的一条垂线.
(2)在图2中,作△ABC的中线BN.
图1　　　　　　　　　　图2
17.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.
(1)求证:∠FAD=∠FDA.
(2)若∠B=50°,求∠CAF的度数.
四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
18.如图,在平面直角坐标系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)写出△A1B1C1的坐标:A1　　　　;B1　　　　　;C1　　　　　　.
(3)△A1B1C1的面积为　　　　　.
(4)在y轴上画出点P,使PB+PC最小.
19.在△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,连接BD.
(1)如图1,若∠BAC=60°,AB=4,求CD的长.
(2)如图2,过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F,求证:△ABF是等腰三角形.
20.如图1,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如图2,连接AC,猜想△ADC的形状,并给予证明.
(2)如图3,若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE,并连接AE,请问:BD与AE相等吗 若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3
五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
21.如图,点P在∠AOB的内部,M,N分别是点P关于射线OA,OB的对称点,线段MN分别交OA,OB于点E,F.
(1)若MN=20 cm,求△PEF的周长.
(2)若∠AOB=35°,求∠EPF的度数.
22.如图,D,E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点,作∠DAC的平分线AF,AF∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)作∠ACE的平分线交AF于点G,若∠B=40°,求∠AGC的度数.
六、解答题(本大题共12分)
23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,O是△ABC内的一点,以AO为边作等边三角形AOD,OD与AB交于点M,E为AB的中点,连接DE.
(1)求证:△AOC≌△ADE.
(2)当DO在∠EDA的内部时,连接OE,设∠ODE=α.
①若∠BCO=36°,OE=DE,求α的大小.
②若∠BOC=130°,请探究OB与OD是否存在互相垂直的情形,若存在,请求出α的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C　2.D　3.B　4.A　5.B　6.A
7.4　8.90°　9.如果三角形有两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形　10.225°　11.4
12.60°或52.5°或45°　提示:由已知易得∠BAC=50°,∠BCA=40°.如图1,当∠ABP=∠BAC=50°时,△ABP为等腰三角形,可得∠APB=80°,∠PBC=40°.因为BQ为△BCP的角平分线,所以∠PBQ=20°,所以∠BQA=60°;如图2,当∠ABP=∠APB时,△ABP为等腰三角形,可得∠ABP=∠APB=65°,所以∠PBC=25°.因为BQ为△BCP的角平分线,所以∠PBQ=12.5°,所以∠BQA=52.5°;如图3,当∠BPA=∠BAC=50°时,△ABP为等腰三角形,可得∠ABP=80°,所以∠PBC=10°.因为BQ为△BCP的角平分线,所以∠PBQ=5°,所以∠BQA=45°.
图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　图3
13.解:(1)E;∠D. 2分
(2)∵∠BAC=108°,∠BAE=30°,
∴∠CAE=108°-30°=78°.
根据对称性可知∠EAF=∠CAF,
∴∠EAF=∠CAE=39°. 6分
14.证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠ABC=60°.
∵BC∥DE,
∴∠D=∠ABC=60°.
∵∠A=∠D=60°,
∴△ADE是等边三角形. 6分
15.解:∵CP=OC=OA,
∴∠P=∠POC,∠ACO=∠CAO. 2分
∵∠ACO=∠P+∠POC=2∠P,
∴∠CAO=2∠P, 4分
∴∠AOB=∠P+∠CAO=3∠P=75°,
∴∠P=25°. 6分
16.解:(1)如图1,EM即所求. 3分
(2)如图2,BN即所求. 6分
图1　　　　　　　　　图2
17.解:(1)证明∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点F,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA. 3分
(2)∵∠FAD=∠FAC+∠CAD,∠FDA=∠B+∠BAD,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CAF=∠B=50°. 6分
18.解:(1)如图,△A1B1C1即所求. 1分
(2)(3,2);(4,-3);(1,-1). 4分
(3)6.5. 7分
(4)如图,P点即所求. 8分
19.解:(1)∵AB=BC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=BC=AB=4.
∵D是AC的中点,
∴CD=AD=AC=×4=2. 4分
(2)证明:∵AB=BC,D是AC的中点,
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵AF∥BC,
∴∠DBC=∠F,
∴∠F=∠ABD,
∴AB=AF,
∴△ABF是等腰三角形. 8分
20.解:(1)△ADC是等边三角形. 1分
证明:∵在△ADC中,AD=DC,
∴△ADC是等腰三角形.
∵∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形. 3分
(2)BD=AE. 4分
证明:由(1)知△ADC是等边三角形,
∴DC=AC,∠DCA=60°.
又∵△BCE是等边三角形,
∴CB=CE,∠BCE=60°,
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB,即∠DCB=∠ACE,
∴△BDC≌△EAC(SAS),
∴BD=AE. 8分
21.解:(1)∵M,N分别是点P关于OA,OB的对称点,
∴ME=PE,NF=PF.∵MN=20 cm,
∴ME+EF+NF=PE+EF+PF=MN=20 cm,即△PEF的周长是20 cm. 4分
(2)如图,设MP交OA于点R,PN交OB于点T.
∵M,N分别是点P关于射线OA,OB的对称点,
∴OA垂直平分PM,OB垂直平分PN,
∴∠PRE=∠PTF=90°,
∴在四边形OTPR中,∠MPN+∠AOB=180°.
∵∠EPF+2∠M+2∠N=180°,
即∠MPN+∠M+∠N=180°,
∴∠M+∠N=∠AOB=35°,
∴∠EPF=180°-35°×2=110°. 9分
22.解:(1)证明:∵AF平分∠DAC,
∴∠DAF=∠CAF.
∵AF∥BC,
∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB,
∴∠B=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形. 4分
(2)∵AB=AC,∠B=40°,
∴∠ACB=∠B=40°,
∴∠BAC=100°,
∴∠ACE=∠BAC+∠B=140°.
∵CG平分∠ACE,
∴∠ACG=∠ACE=70°.
∵AF∥BC,
∴∠AGC=180°-∠ACB-∠ACG=180°-40°-70°=70°. 9分
23.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB.
∵E为AB的中点,
∴AE=AB,即AC=AE.
又∵△AOD为等边三角形,
∴AO=AD,∠OAD=60°,即∠OAC=∠DAE,
∴△AOC≌△ADE(SAS). 3分
(2)①∵△OAD是等边三角形,
∴∠ADO=60°,
当OE=DE时,可得△OAE与△DAE关于直线AB对称,
∴∠EOD=∠EDO,∠EAO=∠EAD=30°,
∴∠OAC=30°.
∵∠BCO=36°,
∴∠OCA=54°,即∠COA=96°.
由(1)得△AOC≌△ADE,
∴∠ADE=∠AOC=96°,
∴α=∠ADE-∠ADO=96°-60°=36°. 8分
②由①得∠COD=120°+α.
∵∠BOC=130°,
∴∠BOD=360°-∠BOC-∠COD=360°-130°-(120°+α)=110°-α,
当OB与OD互相垂直时,∠BOD=90°.
此时可得110°-α=90°,解得α=20°. 12分

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