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第一章 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间四面体ABCD的每条边长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则 的值为（　　）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
2．对于空间任意两个非零向量，，∥是，0的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，（0，0，2），平面ABC的法向量为（2，1，2），设二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
4．对于任意空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），给出下列三个命题：
①∥ ；
②若a1＝a2＝a3＝1．则为单位向量；
③⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0．
其中真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{，，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下的坐标为（3，2，1），则它在{，，}下的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若xy2z，则x+y+z＝（　　）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是（　　）
A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2）
10．在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC＝PF：FB＝1：2，则下列说法正确的是（　　）
A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF
11．在以下命题中，不正确的命题有（　　）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
12．如图四棱锥P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．CQ⊥平面PAD
B．PC与平面AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥B﹣ACQ的体积为
D．四棱锥Q﹣ABCD外接球的内接正四面体的表面积为
三、填空题：本题共4小题．
13．已知异面直线m，n的方向向量分别为（2，﹣1，1），（1，λ，1），若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为 　 　 ．
14．已知向量其中a2+b2＝c2+d2＝1，现有以下命题：
（1）向量与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关 ）；
（2）的最大值为；
（3）（的夹角）的最大值为；
（4）若定义，则的最大值为．
其中正确的命题有　 　 ．（写出所有正确命题的序号）
15．已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为　 　 ．
16．如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则　 　
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥PD；
（2）若F为棱PC上一点，且满足BF⊥AC，求线段PF的长．
18．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量k与k2互相垂直，求实数k的值．
19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
22．如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的九个点，且k，k，k，m，m．求证：
（1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
（2）AC∥EG；
（3）k．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间四面体ABCD的每条边长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则 的值为（　　）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【答案】C
【分析】由题意可得， ，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．
【解答】解：由题意可得， ，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
2．对于空间任意两个非零向量，，∥是，0的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先利用两向量的夹角为0，则可说明两向量共线；接下来结合∥，可知两向量同向共线和反向共线，然后根据充分必要条件的定义进行解答即可．
【解答】解：∵，0，∴∥，故必要性成立；
∵∥，∴存在，同向共线和反向共线两种情况，故充分性不成立．
故∥是，0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，解答本题的关键是熟练掌握向量共线的条件，属于基础题．
3．如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，（0，0，2），平面ABC的法向量为（2，1，2），设二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用cosθ直接求解．
【解答】解：∵点A、B、C分别在空间直角坐标系O﹣xyz的三条坐标轴上，
（0，0，2），平面ABC的法向量为（2，1，2），
二面角C﹣AB﹣O的大小为θ，
∴cosθ．
故选：C．
【点评】本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
4．对于任意空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），给出下列三个命题：
①∥ ；
②若a1＝a2＝a3＝1．则为单位向量；
③⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0．
其中真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】①利用向量共线定理即可判断出；
②利用单位向量即可判断出；
③⊥ 0．
【解答】解：对于①∥ 存在实数λ使得，而其中一个分坐标为0，表示不成立，是假命题；
对于②若a1＝a2＝a3＝1．则||1，不为单位向量，不正确；
对于③⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0，因此正确．
综上可得：真命题的个数为1．
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线定理、单位向量、⊥ 0，考查了推理能力，属于基础题．
5．已知向量{，，}是空间的一个单位正交基底，向量{，，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下的坐标为（3，2，1），则它在{，，}下的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设向量在基底下的坐标为（x，y，z），进而根据向量相等列方程求解即可．
【解答】解：设向量在基底下的坐标为（x，y，z），
则，
所以，解得，
故在基底下的坐标为．
故选：C．
【点评】本题考查了空间向量的计算，属于基础题．
6．如图，在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加法法则直接求解．
【解答】解：∵在四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，
∴
（）
．
故选：A．
【点评】本题考查满足向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值．
【解答】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
（0，﹣1，﹣2），（1，﹣1，0），（0，0，2），
设平面ABB1A1的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，0），
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则sinθ，
∴cosθ．
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
8．在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，若xy2z，则x+y+z＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的运算得到，进而列出方程，求出x，y，z的值，得到答案．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，，
又xy2z，
∴，∴，
∴x+y+z．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的运算，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，不能作为平面AEF的法向量的是（　　）
A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2）
【答案】ACD
【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量（x，y，z）是平面AEF的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【解答】解：设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴，
设向量（x，y，z）是平面AEF的法向量，
则取y＝1，得z＝﹣2，x＝﹣4，
则（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量，
结合其他选项，只需和（﹣4，1，﹣2）共线即可，
检验可知，ACD选顶均不与（﹣4，1，﹣2）共线．
所以能作为平面AEF的法向量只有选项B．
故选：ACD．
【点评】本题考查了平面法向量的计算，属于基础题．
10．在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC＝PF：FB＝1：2，则下列说法正确的是（　　）
A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF
【答案】ABD
【分析】以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出所用向量的坐标，由数量积是否为0及共线向量定理判断．
【解答】解：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，分别以PA，PB，PC 所在的直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），
E（0，2，1），F（0，1，0），G（1，1，0），
∴（0，﹣1，﹣1），（1，﹣1，﹣1），（1，1，0），
（0，﹣3，3），（1，0，0）．
∵，∴EG⊥PG，故A正确；
∵，∴EG⊥BC，故B正确；
∵不存在非0实数λ，使，∴FG∥BC错误，即C错误；
∵，∴FG⊥EF，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间向量的应用，利用空间向量证明平行与垂直，属于基础题．
11．在以下命题中，不正确的命题有（　　）
A．||﹣||＝||是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【分析】A．||﹣||＝||，可得，共线；反之不成立，即可判断出正误；
B．若，时不成立，即可判断出正误；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，即可判断出正误；
D．利用空间向量基底的定义，即可判断出正误．
【解答】解：A．||﹣||＝|| ，共线；反之不成立，若，同向共线，可能是||+||＝||成立，因此||﹣||＝||是，共线的充分不必要条件，因此A不正确；
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使λ，不正确，因为，时不成立，因此B不正确；
C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若xyz，x+y+z＝1 P，A，B，C四点共面，因此C不正确；
D．若{，，}为空间的一个基底，则{，，}构成空间的另一个基底，否则其中任意一个向量必然能用另外两个向量线性表示，不妨设x（）+y（），化为x（x+y）y，则y＝1，x＝1，且x+y＝0，矛盾，假设不成立，因此D成立．
故选：ABC．
【点评】本题考查向量共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
12．如图四棱锥P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．CQ⊥平面PAD
B．PC与平面AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥B﹣ACQ的体积为
D．四棱锥Q﹣ABCD外接球的内接正四面体的表面积为
【答案】BD
【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连结OE，OP，建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量，看其是否与共线，从而可判断选项A；先求平面AQC的法向量，然后根据公式sinθ，再根据同角三角函数关系可求出余弦值，从而可判断选项B；根据VB﹣ACQ＝VQ﹣ABC可求出体积，可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，求出正四面体的棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D．
【解答】解：取AD的中点O，BC的中点E，连结OE，OP，
因为三角形PAD为等边三角形，所以OP⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，
因为AD⊥OE，所以OD，OE，OP两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
，
因为点Q时PD的中点，所以，
平面PAD的一个法向量为，显然与不共线，
所以CQ与平面PAD不垂直，故选项A不正确；
，
设平面AQC的法向量为，则，
令x＝1，则y，z，
所以，
设PC与平面AQC所成角为θ，
则sinθ，所以cosθ，所以B正确；
三棱锥B﹣ACQ的体积为VB﹣ACQ＝VQ﹣ABCS△ABC OP26，所以C不正确；
设四棱锥Q﹣ABCD外接球的球心为M（0，，a），则MQ＝MD，
所以，
解得a＝0，即M（0，，0）为矩形ABCD对角线的交点，
所以四棱锥Q﹣ABCD外接球的半径为3，
设四棱锥Q﹣ABCD外接球的内接正四面体的棱长为x，
将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为，所以，得x2＝24，
所以正四面体的表面积为，所以D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了线面垂直，线面角，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查了转化能力和运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题．
13．已知异面直线m，n的方向向量分别为（2，﹣1，1），（1，λ，1），若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为 　　 ．
【答案】
【分析】利用空间直线间的夹角求解即可．
【解答】解：由，
两边平方，化简得6λ＝7，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量及其应用，属于基础题．
14．已知向量其中a2+b2＝c2+d2＝1，现有以下命题：
（1）向量与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关 ）；
（2）的最大值为；
（3）（的夹角）的最大值为；
（4）若定义，则的最大值为．
其中正确的命题有　（1）（3）（4）　 ．（写出所有正确命题的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）取z轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题正确；
（2）计算 ac+bd，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；
（3）利用数量积求出与夹角的最大值，即可判断命题正确；
（4）根据定义求出的最大值即可判断命题正确．
【解答】解：（1）取z轴的正方向单位向量（0，0，1），
则cos，，
∴向量与z轴正方向的夹角恒为定值，命题正确；
（2） ac+bd1，
当且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此 的最大值为1，命题错误；
（3）由（2）可得：| |≤1，∴﹣1 1，
∴cos，，
∴，的最大值是，命题正确；
（4）由（3）可知：cos，，
∴，，sin，1，
∴||×||×sin，11，命题正确．
综上可知：正确的命题序号是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，也考查了推理与计算能力，属于难题．
15．已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】写出数量积的表达式，利用向量的投影，判断P的位置，然后求出数量积的最大值．
【解答】解：由题意画出图形如图，
因为cos，
是向量在上的投影，
所以当P在C1位置时，投影最大，
的最大值为：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查向量的数量积，向量的投影，表达式的几何意义，考查计算能力．
16．如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则　　
【答案】见试题解答内容
【分析】（）（）[]，由此能求出结果．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，
∴
（）
（）[]
（）（）
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥PD；
（2）若F为棱PC上一点，且满足BF⊥AC，求线段PF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，然后由向量垂直的坐标表示证明即可；
（2）设向量，利用向量垂直的充要条件，求出λ的值，结合向量模的坐标表示求解即可．
【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
故，
所以0×0+1×2+1×（﹣2）＝0，
则，
所以BE⊥PD；
（2）解：由（1）可得，
由点F在棱PC上，设，
所以，
因为BF⊥AC，
则，解得，
故．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，涉及了空间向量垂直的坐标表示，向量共线定理的应用，在立体几何中，经常建立合适的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量k与k2互相垂直，求实数k的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用向量的坐标运算和向量的夹角公式即可得出；
（2）利用，可得0即可解得．
【解答】解：（1）（﹣1，1，2）﹣（﹣2，0，2）＝（1，1，0）．
（﹣3+2，0﹣0，4﹣2）＝（﹣1，0，2）．
∴cosθ．
∴和的夹角的余弦值为．
（2）k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
k2（k，k，0）﹣（﹣2，0，4）＝（k+2，k，﹣4）．
∵，
∴（k﹣1，k，2） （k+2，k，﹣4）＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，
即2k2+k﹣10＝0，解得k或k＝2．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
19．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE＝EB＝2，设N（2，m，0），求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论．
【解答】解：（I）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB＝B，故EM⊥平面PBC，
EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（II）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE＝EB＝2，设N（2，m，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），M（1，0，1），
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，得，
平面BEN的法向量为，
故|cos|＝||，
得m＝1，
故存在N为BC的中点．
【点评】考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查了空间想象能力和数学运算能力，中档题．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）；（Ⅲ）2．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明PB∥平面ACM．
（Ⅱ）求出平面CDP的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣P的正弦值．
（Ⅲ）求出平面CDP的法向量，由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法能求出MD的长．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），
（2，0，﹣4），（2，2，0），（0，），
设平面ACM的法向量（x，y，z），
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB 平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（Ⅱ）D（0，4，0），（2，2，﹣4），（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|cosθ|，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为．
（Ⅲ）设M（a，b，c），，（0≤λ≤1），
则（a，b，c﹣4）＝（0，4λ，﹣4λ），∴a＝0，b＝4λ，c＝4﹣4λ，∴M（0，4λ，4﹣4λ），
（0，4λ，4﹣4λ），平面CDP的法向量（1，1，1），
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴|cos，|，解得λ，
∴MDPD2．
【点评】本题考查线面平行的证明，二面角的正弦值、考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用三线垂直关系建立空间坐标系，找出各点坐标，得到两个平面的法向量，代入公式求解；
（2）设动点N的横坐标，通过相似关系可得纵坐标，进而得向量，再利用公式去探究．
【解答】解（1）∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥AD，SA⊥AB，又AD⊥AB，
∴以A为原点，以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，
∵SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，SM＝2MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），M（0，，），D（1，0，0）
由上可知AD⊥平面SAB，
∴（1，0，0）可作为平面SAB的法向量；
设平面MAC的法向量为（x，y，z），
则
＝2x+2y＝0，即x+y＝0；
，即2y+z＝0，
取x＝1，则y＝﹣1，z＝2，
即，
设平面SAB与平面AMC所成锐二面角为α，
则cosα＝|cos|＝||；
（2）如图，作NQ∥BC，DR∥AB，NQ，DR交于P，则，
设QN＝m，则PN＝m﹣1，∴DP＝2M﹣2，
∴N（m，2m﹣2，0），
∴（m，2m，），
∴||
∴sinθ＝|cos|＝||
∴当m时，sinθ取得最大值，
此时N（，，0），
∴当sinθ取最大值时点N在线段CD上且ND．
【点评】此题考查了利用空间向量解决二面角，线面所成角的问题，运算难度较大．
22．如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的九个点，且k，k，k，m，m．求证：
（1）A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
（2）AC∥EG；
（3）k．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）证明过程请看解答；
（3）证明过程请看解答．
【分析】（1）根据空间向量的基本定理可得证；
（2）由m，结合空间向量的减法和数乘运算可推出k，从而得证；
（3），结合（2）中的结论与k可得证．
【解答】证明：（1）∵m，∴A，B，C，D四点共面；
∵m，∴E，F，G，H四点共面．
故得证．
（2）∵mm（）
＝k（）+km（）＝kkm
＝k（m）＝k，
∴AC∥EG．
（3）由（2）知，k，
∴kkk．
故得证．
【点评】本题考查利用空间向量证明四点共面、线线平行问题，主要运用了空间向量基本定理和空间向量的线性运算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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