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第二章 一元二次函数、 方程和不等式（3）
一、选择题
1．（5分）设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a+c＞b+d
2．（5分）不等式x2+2x＜3的解集是（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜1}
C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
3．（5分）已知正数a，b满足ab＝10，那么a+b的最小值等于（　　）
A．2 B． C．2 D．20
4．（5分）当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是（　　）
A．ab＞ac B．a|c|＞b|c|
C．|ab|＜|bc| D．（a﹣b）|c﹣b|＞0
5．（5分）已知命题，命题q： x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若x∈（0，2），则x（2﹣x）的最大值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．（5分）下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
8．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
二、多选题
9．（5分）已知正数m，n满足m2+n2＝100，则（　　）
A．m+n有最大值10 B．m+n有最小值10
C．mn有最大值50 D．mn有最小值50
10．（5分）若关于x的不等式xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）≥m2﹣2m对任意x∈（0，2）恒成立，则整数m的取值可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式0恒成立，则实数k可取（　　）
A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣5
12．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（　　）
A．ab≤1 B． C．a2+b2≥2 D．
三、填空题
13．（5分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是　 　 ．
14．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，e＜0，则与的大小关系为　 　 ．
15．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则a+2b＝ 　 　 ．
16．（5分）正实数x，y满足xy+x+2y＝6，则xy的最大值为　 　 ，x+y的最小值为　 　 ．
四、解答题
17．（10分）已知三个不等式：①a，b，x均为正数；②a＞b；③．
请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x+m．
（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若m＞0时，f（x）＜0的解集为（a，b），求的最小值．
19．（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，若ab＞cd，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（2m+1）x+2m（m∈R）．
（1）当m＝1时，解关于x的不等式xf（x）≤0；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
21．（12分）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且y．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
22．（12分）若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|．
（Ⅰ）求证：b+c＞0；
（Ⅱ）求证：．
第二章 一元二次函数、 方程和不等式（3）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a+c＞b+d
【答案】D
【分析】对于A．B．C：取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
D．由不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：A．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
B．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
C．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
D．由不等式的基本性质可得：a+c＞b+d．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）不等式x2+2x＜3的解集是（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜1}
C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【答案】B
【分析】把不等式化为（x+3）（x﹣1）＜0，求出解集即可．
【解答】解：∵不等式x2+2x＜3，
∴x2+2x﹣3＜0，
即（x+3）（x﹣1）＜0，
解得﹣3＜x＜1，
所以该不等式的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
3．（5分）已知正数a，b满足ab＝10，那么a+b的最小值等于（　　）
A．2 B． C．2 D．20
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求出结果．
【解答】解：由于正数a和b满足ab＝10，
则：a+b2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4．（5分）当a＞b＞c时，下列不等式恒成立的是（　　）
A．ab＞ac B．a|c|＞b|c|
C．|ab|＜|bc| D．（a﹣b）|c﹣b|＞0
【答案】D
【分析】选项A，B，C，列举反例即可；选项D，根据a＞b＞c，可知a﹣b＞0，|c﹣b|＞0，从而可判断．
【解答】解：选项A，必须满足a＞0，故不恒成立；
选项B，|c|＝0时，结论不成立；
选项C，|b|＝0时，结论显然不成立；
选项D，∵a＞b＞c，∴a﹣b＞0．
又∵|c﹣b|＞0，
∴D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的重点是不等式的性质，解题的关键是不成立的结论，列举反例．
5．（5分）已知命题，命题q： x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由，解得：0＜a＜4，
故命题p：0＜a＜4；
若 x∈R，ax2+ax+1＞0，
则，解得：0＜a＜4，
或a＝0时，1＞0恒成立，
故q：0≤a＜4；
故命题p是命题q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是一道基础题．
6．（5分）若x∈（0，2），则x（2﹣x）的最大值是（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】令f（x）＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）单调递减，f（x）max＝f（1）＝1，
【解答】解：令f（x）＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，开口向下，对称轴为x＝1，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）单调递减，
f（x）max＝f（1）＝1，
另解：由x∈（0，2），则x（2﹣x）≤（）2＝1，
当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，取得等号，
即f（x）max＝f（1）＝1，
故选：C．
【点评】考查二次函数图象的理解，单调性，最大值．
7．（5分）下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
【答案】A
【分析】通过x，，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项．
【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x时，代入xx2，得到，显然不成立，选项B不正确；
当x时，代入xx2，得到，显然不正确，排除C；
当x＝2时，代入xx2，得到，显然不正确，排除D．
故选：A．
【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂．
8．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
【答案】C
【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则
∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，
∴底面面积S＝ab＝4，y＝20S+10[2（a+b）]＝20（a+b）+80，
∵a+b≥24，
∴当a＝b＝2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故选：C．
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．
二、多选题
9．（5分）已知正数m，n满足m2+n2＝100，则（　　）
A．m+n有最大值10 B．m+n有最小值10
C．mn有最大值50 D．mn有最小值50
【答案】AC
【分析】由100＝m2+n2≥2mn，可得mn的最大值；将m2+n2＝100变形为（m+n）2＝100+2mn，再结合前面所得结论，可求得m+n的最大值．
【解答】解：∵100＝m2+n2≥2mn，∴mn≤50，即mn有最大值50，∴选项C正确；
∵100＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，
∴（m+n）2＝100+2mn≤100+2×50＝200，
又m，n均为正实数，
∴m+n，当且仅当m＝n时，等号成立，
∴m+n有最大值，选项A正确．
故选：AC．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
10．（5分）若关于x的不等式xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）≥m2﹣2m对任意x∈（0，2）恒成立，则整数m的取值可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AB
【分析】构造函数f（x）＝xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x），求导，利用导数求解函数的最值，进而将问题转为m2﹣2m≤f（x）min，即可由一元二次不等式求解．
【解答】解：令f（x）＝xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x），则f′（x）＝lnx+1﹣ln（2﹣x）﹣1＝lnx﹣2ln（2﹣x），
由于函数y＝lnx在x∈（0，2）单调递增，y＝ln（2﹣x）在x∈（0，2）单调递减，
所以f′（x）＝lnx﹣2ln（2﹣x）在x∈（0，2）单调递增，
又f′（1）＝0，所以当x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，2），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，f（x）取极小值也是最小值，故f（x）min＝f（1）＝0，
对于不等式xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）≥m2﹣2m对任意x∈（0，2）恒成立，
则，所以0≤m≤2，
故整数m的取值可能为0，1，2．
故选：AB．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式0恒成立，则实数k可取（　　）
A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣5
【答案】ABC
【分析】不等式0可化为k≥﹣（）（a+b），
利用基本不等式求出﹣（）（a+b）的最大值即可得出结论．
【解答】解：由a＞0，b＞0，且不等式0，
所以k≥﹣（）（a+b），
又﹣（）（a+b）＝﹣（2）≤﹣（2+2）＝﹣4，
当且仅当a＝b时取等号，
所以k≥﹣4，
所以实数k的可能取值是﹣4，0和4．
故选：ABC．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用基本不等式求函数最值问题，是基础题．
12．（5分）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（　　）
A．ab≤1 B． C．a2+b2≥2 D．
【答案】ACD
【分析】首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题B直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．
【解答】解：对于命题ab≤1：由，A正确；
对于命题：令a＝1，b＝1时候不成立，B错误；
对于命题a2+b2≥2：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2，C正确；
对于命题：，D正确．
故选：ACD．
【点评】此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．
三、填空题
13．（5分）若实数a，b满足0＜a＜2，0＜b＜1，则a﹣b的取值范围是　（﹣1，2）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式的同向可加性，即可求出答案．
【解答】解：∵0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
∵0＜a＜2，
∴﹣1＜a﹣b＜2，
故答案为：（﹣1，2）
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
14．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，e＜0，则与的大小关系为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：∵a＞b＞0，c＞d＞0，
∴a+c＞b+d＞0，
∴，又e＜0，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
15．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则a+2b＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】根据ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，则ax2+bx+1＝0的解是x＝﹣1或x＝2，代入解出即可．
【解答】解：∵ax2+bx+1＞0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，
∴ax2+bx+1＝0的解是x＝﹣1或x＝2，
代入得，解之得a，b，
则a+2b，
另解：由ax2+bx+1＝0的解是x＝﹣1或x＝2，
可得﹣1+2，﹣2，解得a，b，
则a+2b，
故答案为：．
【点评】本题考查解不等式，属于基础题．
16．（5分）正实数x，y满足xy+x+2y＝6，则xy的最大值为　2　 ，x+y的最小值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】正数x，y满足xy+x+2y＝6，可得x0，解得0＜y＜3．可得xy，x+yy，化简整理利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵正数x，y满足xy+x+2y＝6，
∴x0，解得0＜y＜3．
∴xy2（y+1）+10
≤﹣2×210＝2，当且仅当y＝1，x＝2时取等号．
∴xy的最大值为2．
∵正数x，y满足xy+x+2y＝6，
∴x0，解得0＜y＜3．
∴x+yy＝（y+1）3
≥23＝43，当且仅当y＝21，x＝22时取等号．
∴x+y的最小值为43．
故答案为：2，．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于中档题．
四、解答题
17．（10分）已知三个不等式：①a，b，x均为正数；②a＞b；③．
请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明．
【答案】方案一：条件：①②结论：③，结论为真命题；方案二：条件①③结论：②，结论为真命题；方案三：条件②③结论：①结论为假命题．
证明过程见解析．
【分析】方案一：直接利用作差法和不等式的性质求出结果；
方案二：直接利用作差法和不等式的性质的应用求出结果；
方案三：直接利用赋值法的应用和不等式的性质的应用求出结果．
【解答】解：方案一：条件：①②结论：③，结论为真命题；
若为真命题
证明：，
∵a，b，x均为正数，a＞b，
∴a（a+x）＞0，b﹣a＜0，
∴．
方案二：条件①③结论：②，结论为真命题；
为真命题；
证明：∵，
又∵a，b，x均为正数，
∴a（a+x）＞0，
∴b﹣a＜0即b＜a．
方案三：条件②③结论：①结论为假命题；
为假命题；
．
【点评】本题考查的知识要点：作差法，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x+m．
（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若m＞0时，f（x）＜0的解集为（a，b），求的最小值．
【答案】（1）（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
（2）9．
【分析】（1）令f（x）＝x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）＞0，解之即可；
（2）由题知，a和b是方程f（x）＝x2﹣x+m＝0的两根，由韦达定理得，a+b＝1，ab＝m＞0，即a、b均为正数，再利用“乘1法”即可求得的最小值．
【解答】解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝x2﹣x﹣2＞0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
故不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
（2）m＞0时，f（x）＜0的解集为（a，b），
∴a和b是方程f（x）＝x2﹣x+m＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝m＞0，即a、b均为正数，
∴（a+b）（）＝55+29，
当且仅当，即b＝2a时，等号成立，
故的最小值为9．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法、利用基本不等式求最值，掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）设a，b，c，d均为正数，且a+b＝c+d，若ab＞cd，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）|a﹣b|＜|c﹣d|．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）两边平方比较大小即可得出结论；
（II）两边平方，结合a+b＝c+d，ab＞cd得出结论．
【解答】证明：（Ⅰ）∵（）2＝a+b+2，（）2＝c+d+2，
a+b＝c+d，ab＞cd，
∴（）2＞（）2．
∴．
（Ⅱ）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd＝（c﹣d）2．
∴|a﹣b|＜|c﹣d|．
【点评】本题考查了不等式的证明方法，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣（2m+1）x+2m（m∈R）．
（1）当m＝1时，解关于x的不等式xf（x）≤0；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当m＝1时，x（x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2）≤0，即可得出结论；
（2）不等式可化为（x﹣2m）（x﹣1）＞0，分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）当m＝1时，x（x2﹣3x+2）≤0，即x（x﹣1）（x﹣2）≤0，{x|x≤0或1≤x≤2}；
（2）不等式可化为（x﹣2m）（x﹣1）＞0，
当时，解集为{x|x＜2m，或x＞1}；
当时，解集为{x|x≠1}；
当时，则不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2m}…..（12分）
【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12分）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且y．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和x≥40两种情况得到利润S（万元）关于年产量x（百辆）的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜40时利用二次函数的性质求出S的最大值，当x≥40时，利用基本不等式求S的最大值，最后再比较即可．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，S（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣3000＝﹣10x2+400x﹣3000，
当x≥40时，S（x）＝500x﹣501x4500﹣3000，
∴S（x）；
（2）当0＜x＜40时，S（x）＝﹣10x2+400x﹣3000，
这个二次函数的对称轴为x＝20，所有当x＝20时，S（x）＝1000为最大值，
当x≥40时，S（x）1500﹣（x），
∵，当且仅当x即x＝100时，等号成立，
∴S（x）≤1500﹣200＝1300，
即当x＝100时，S（x）取到最大值1300，
∵1300＞1000，
∴当x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．
22．（12分）若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|．
（Ⅰ）求证：b+c＞0；
（Ⅱ）求证：．
【答案】（I）证明详见解析．（II）证明详见解析．
【分析】（Ⅰ）由条件及不等式的性质得出b＞﹣c，移项即可求解．
（Ⅱ）因为c＜d＜0，所以﹣c＞﹣d＞0，又a＞b＞0，先得出，再得出a+d＞b+c＞0，由不等式的相乘性即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ）因为|b|＞|c|，
且b＞0，c＜0，所以b＞﹣c，
所以b+c＞0．
（Ⅱ）因为c＜d＜0，所以﹣c＞﹣d＞0，
又因为a＞b＞0，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a﹣c＞b﹣d＞0，
所以（a﹣c）2＞（b﹣d）2＞0，
所以0（i），
因为a＞b，d＞c，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d＞b+c．
又由（Ⅰ）b+c＞0，
所以a+d＞b+c＞0（ii），
由不等式的相乘性可将以上两不等式（i）（ii）相乘得．
【点评】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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