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第三章 圆锥曲线的方程
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）焦点在x轴上的椭圆的方程为（a＞0），则它的离心率e的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0），M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2．若椭圆上有一点P，使PF1⊥PF2，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）
A．2 B．4
C． D．
6．（5分）已知F1、F2是双曲线C：x21的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P，使得0，O为坐标原点，且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（5分）过点（1，1）且的双曲线的标准方程是（　　）
A．y2＝1 B．x21
C．x2＝1 D．y21
10．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点A（0，2），则C的方程为（　　）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x
11．（5分）我们把离心率为的双曲线（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图所示，A1、A2是双曲线的实轴顶点，B1、B2是虚轴顶点，F1、F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是（　　）
A．双曲线是黄金双曲线
B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线
C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
12．（5分）已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P、M位于第一象限，则的值可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　 　 ．
14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　 　 ．
15．（5分）如图所示，已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是 　 　 ．
16．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B、D两点，若∠BFD＝120°，△ABD的面积为，则p＝　 　 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．
18．（12分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
（1）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
（2）经过点，两点；
（3）与椭圆有相同离心率且经过点．
19．（12分）2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA、PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且其右焦点为F2（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在圆x2+y2＝b2上，且在第一象限，过P作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于A、B两点，问：△AF2B的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．过椭圆右焦点F作直线l与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若OA⊥OB，求直线l的方程．
22．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），直线x＝my+3与E交于A、B两点，且 6，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C的坐标为（﹣3，0），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的焦距以及焦点到双曲线的渐近线方程的距离，求出b，然后求解a，得到双曲线方程．
【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的焦距为，，
焦点到渐近线的距离为，可得：，则a＝1，
则双曲线的方程为：．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
2．（5分）焦点在x轴上的椭圆的方程为（a＞0），则它的离心率e的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据焦点位置求得a的范围，再代入离心率计算公式结合基本不等式即可求得结论．
【解答】解：∵焦点在x轴上的椭圆的方程为（a＞0），
∴4a＞a2+1，可得2a＜2，
∴c2＝4a﹣（a2+1），
故椭圆的离心率e，
∵a＞0，
∴a22，当且仅当a＝1时等号成立，
∴0＜e，
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆的性质以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0），M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【分析】设M（acosθ，bsinθ），由F（﹣c，0），知线段MF1的中点P（，），由此求出线段MF1的中点P的轨迹是椭圆．
【解答】解：设M（acosθ，bsinθ）
∵F（﹣c，0），∴线段MF1的中点P（，），
∴x，y，
∴cosθ，sinθ，
∴点P的轨迹方程为，
∴线段MF1的中点P的轨迹是椭圆．
故选：B．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．
4．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2．若椭圆上有一点P，使PF1⊥PF2，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】点P是以F1F2为直径的圆上的点，即x2+y2＝c2，可得b≤c＜a，求解即可．
【解答】解：由题意知PF1⊥PF2，所以点P是以F1F2为直径的圆上的点，即x2+y2＝c2，
又点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点，
∴b≤c，∴b2≤c2，∴b2≤a2﹣b2，∴0，
∴的取值范围是（0，]．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，属基础题．
5．（5分）已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）
A．2 B．4
C． D．
【答案】C
【分析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论
【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|＝2m ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|＝2a ②
又∠F1PF2＝900，故|PF1|2+|PF2|2＝4c2 ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2＝2a2+2m2④
将④代入③得a2+m2＝2c2，即 ，即
故选：C．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
6．（5分）已知F1、F2是双曲线C：x21的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P，使得0，O为坐标原点，且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】设点，将坐标化运算，可求出，再分别计算|PF1|，|PF2|的值，即可得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，
∴，
设点，
∴15+m2＝0，
∴，
则4，
∴|PF2|＝|PF1|﹣2a＝2，∴，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
7．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，），
由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM，
即为，
化简可得，即为a＝3c，
可得e．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得，
由△BOH∽△BFM，
可得，
即有即a＝3c，
可得e．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|＝2|FB|，推断出|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|＝|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2
直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（5分）过点（1，1）且的双曲线的标准方程是（　　）
A．y2＝1 B．x21
C．x2＝1 D．y21
【答案】AC
【分析】分类讨论，利用双曲线过点（1，1）且，即可求出双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意，焦点在x轴上时，，∴a2，b＝1，∴双曲线的标准方程为y2＝1，
同理，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2＝1．
故选：AC．
【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
10．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点A（0，2），则C的方程为（　　）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x
【答案】AD
【分析】由点M在抛物线上，可设，且以MF为直径的圆过点A（0，2），可得，即，解得y0＝4，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px，
∴焦点，
∵点M在抛物线上，
∴可设，
∴，，
∵以MF为直径的圆过点A（0，2），
∴，即，解得y0＝4，
∴，
∵|MF|＝5，
∴又两点之间距离公式可得，，又p＞0，解得p＝2或p＝8，
故C的抛物线方程为y2＝4x 或y2＝16x，
故选：AD．
【点评】本题考查了抛物线与向量的综合，以及两点之间距离公式，需要学生有较强的综合能力，属于中档题．
11．（5分）我们把离心率为的双曲线（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图所示，A1、A2是双曲线的实轴顶点，B1、B2是虚轴顶点，F1、F2是焦点，过右焦点F2且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是（　　）
A．双曲线是黄金双曲线
B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线
C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线
【答案】BCD
【分析】A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线．
【解答】解：A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，b2＝ac＝c2﹣a2，化成c2﹣a2﹣ac＝0，即e2﹣e﹣1＝0，
又e＞1，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵∠F1B1A2＝90°，∴，
∴b2+c2+b2+a2＝（a+c）2，
化简得c2﹣ac﹣a2＝0，由B选项知是黄金双曲线；
D选项，∵∠MON＝90°，∴MN⊥x轴，，且△MOF2是等腰直角三角形，
∴，即b2＝ac，由B选项知是黄金双曲线；
综上，BCD是黄金双曲线．
故选：BCD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12．（5分）已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P、M位于第一象限，则的值可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设PQ的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，推得x1x2＝1，从而由抛物线的定义有|PM| |QN|＝（PF|﹣1）（|QF|﹣1）＝x1x2，再由基本不等式可得的最小值，可得结论．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
设PQ的方程为x＝my+1，
由，可得y2﹣4my﹣4＝0，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
则x1x21，
则|PM| |QN|＝（PF|﹣1）（|QF|﹣1）
＝（x1+1﹣1）（x2+1﹣1）＝x1x2＝1，
可得24，
当且仅当4|PM|＝|QN|＝2时，上式取得等号，
∴的最小值为4，
结合选项可得，的值可能为4或5．
故选：CD．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及基本不等式的应用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　（0，）　 ．
【答案】（0，）．
【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得点M在以为F1F2直径的圆上运动且这个圆上的点都在椭圆内部．由此建立a、b、c的不等式，解出ac．再利用离心率的公式加以计算，可得此椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），如图所示，
若点M满足0，则，
可得点M在以为F1F2直径的圆上运动，
∵满足0的点M总在椭圆内部，
∴以F1F2为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在圆外，
由此可得b＞c，即c，解之得ac，
因此椭圆的离心率e，椭圆离心率的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围．着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题．
14．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2＝1，可得焦距F1F2＝2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|＝±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2＝12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
【解答】解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2＝1，
∴a2＝b2＝1，c2＝a2+b2＝2，可得F1F2＝2
∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝8
又∵P为双曲线x2﹣y2＝1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|＝±2a＝±2，（|PF1|﹣|PF2|）2＝4
因此（|PF1|+|PF2|）2＝2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为：
【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．
15．（5分）如图所示，已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是 　　 ．
【答案】．
【分析】先把x＝c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，进而根据相似三角形的性质求得求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】解：把x＝c代入椭圆方程求得y＝±，
∴|PF|，
∵OP∥AB，PF∥OB，
∴△PFO∽△ABO，
∴，
即，求得b＝c，
∴ac，
∴e，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力，是中档题．
16．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B、D两点，若∠BFD＝120°，△ABD的面积为，则p＝　1　 ．
【答案】1．
【分析】由于∠BFD＝120°，可得∠BDF＝∠DBF＝30°，又|FF'|＝p，可推得|BF|＝|DF|＝|AF|＝2p，，可得A到准线l的距离d＝|AF|＝2p，结合三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：∵∠BFD＝120°，∴∠BDF＝∠DBF＝30°，
又∵|FF'|＝p，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝2p，，
∴A到准线l的距离d＝|AF|＝2p，
∴，
解得p＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知抛物线y2＝4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．
【答案】（1）y2＝2x；
（2）
【分析】（1）设Q（x，y），根据Q是OP中点，可得P（2x，2y），利用点P在抛物线y2＝4x上，即可得到点Q的轨迹方程；
（2）设出直线AB的方程代入y2＝2x，消去y得：3x2﹣8x+3＝0，利用韦达定理，可计算弦长|AB|．
【解答】解：（1）设Q（x，y），∵Q是OP中点，∴P（2x，2y）
又∵点P在抛物线y2＝4x上
∴（2y）2＝4×2x，即y2＝2x为点Q的轨迹方程
（2）∵F（1，0），，∴直线AB的方程为：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）
直线AB的方程代入y2＝2x，消去y得：3x2﹣8x+3＝0
∴
∴
【点评】本题考查求轨迹方程，考查弦长的计算，解题的关键是掌握代入法求轨迹方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．
18．（12分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
（1）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
（2）经过点，两点；
（3）与椭圆有相同离心率且经过点．
【答案】（1）1或1．
（2）1．
（3）1或1．
【分析】（1）利用椭圆定义及椭圆中点的坐标进行求解，
（2）设经过，两点的椭圆的方程，把点的坐标代入，求得参数的值，可得结论．
（3）设出椭圆方程，代入点的坐标，即可得出椭圆方程．
【解答】解：（1）因为短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，
所以a＝2c，
因为焦点到同侧顶点距离为，
所以a﹣c，
又∵a2＝b2+c2，
解得：a＝2，b＝3，
因为不确定焦点的位置，故两种情况均有可能，
故椭圆的标准方程为：1或1．
（2）∵椭圆经过，两点，
设所求椭圆的方程为 1，
把点P、Q代入，求得m＝15，n＝5，
∴所求椭圆的方程为1．
（3）由题意，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为（t＞0），
∵椭圆过点（2，），∴t2，
∴椭圆标准方程为 1．
当焦点在y轴上时，设方程为m（m＞0），
∵椭圆过点（2，），∴m，∴椭圆标准方程为1．
故所求椭圆标准方程为：1或1．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA、PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100km，PB＝150km，BC＝60km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
【答案】界线是双曲线的一部分，界线的曲线方程为1（25≤x≤35，y＞0）．
【分析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立平面直角坐标系能求出界线方程．
【解答】解：矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，
第二类沿道路PB送药较近，
第三类沿道路PA和PB送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设M为界线上的任一点，则|PA|+|MA|＝|PB|+|MB|，
|MA|﹣|MB|＝|PB|﹣|PA|＝50，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为1（a＞0，b＞0），
∵a＝25，2c＝|AB|50，
∴c＝25，
b2＝c2﹣a2＝3750，
∴双曲线的标准方程为1，
∵C（25，60），∴y的最大值为60，此时x＝35，
∴界线的曲线方程为1（25≤x≤35，y＞0）．
【点评】本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是求出|MA|﹣|MB|＝50，能根据双曲线的定义判断出界线是双曲线的一部分，考查双曲线的定义、标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且其右焦点为F2（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在圆x2+y2＝b2上，且在第一象限，过P作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于A、B两点，问：△AF2B的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
【答案】（1）1；
（2）△AF2B的周长为定值6．
【分析】（1）左焦点为F1（﹣1，0）．2a6，可求b，可求椭圆的方程；
（2）由题意，设AB的方程为y＝kx+m（k＜0，m＞0），设A（x1，y1）（0＜x1＜3），B（x2，y2）（0＜x2＜3），利用韦达定理可得|AB|＝||x1﹣x2|，又|AF2|（9﹣x1）＝3x1，同理|BF2|（9﹣x2）＝3x2．即可得△AF2B的周长为定值．
【解答】解：（1）由题意知，左焦点为F1（﹣1，0）．
2a6，∴a＝3，∴b2＝9﹣1＝8，
∴椭圆的方程为1；
（2）由题意，设AB的方程为y＝kx+m（k＜0，m＞0），
∵直线AB与圆x2+y2＝8相切，
∴2，即m＝2 ，
由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72＝0，
设A（x1，y1）（0＜x1＜3），B（x2，y2）（0＜x2＜3），
则x1+x2，x1 x2，
∴|AB||x1﹣x2| ．
又|AF2|2＝（x1﹣1）2+y12＝（x1﹣1）2+8（1）（x1﹣9）2，
∴|AF2|（9﹣x1）＝3x1，同理|BF2|（9﹣x2）＝3x2．
∴|AF2|+|BF2|＝6（x1+x2）＝6，
∴|AF2|+|BF2|+|AB|＝66，
即△AF2B的周长为定值6．
【点评】本题考查了椭圆方程、性质，考查了直线与椭圆位置关系，考查了计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点．过椭圆右焦点F作直线l与椭圆C交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若OA⊥OB，求直线l的方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目所给四边形的面积得到，结合点在椭圆上列方程，由此求得a2，b2，从而求得椭圆C的方程．
（2）当直线l斜率不存在时，求得A，B的坐标，判断出OA⊥OB不成立．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将直线l的方程与椭圆方程联立，结合列方程，解方程求得k的值，由此求得直线l的方程．
【解答】解：（1）四边形的面积为，
∴，
又点在C：上，则，
∴a2＝2，b2＝1，∴椭圆的方程为．
（2）由（1）可知椭圆C的右焦点F（1，0），
①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
则、，OA⊥OB不成立，舍，
②当直线l斜率存在时，设直线方程为y＝k（x﹣1），
，代入椭圆方程，整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，
因为F在椭圆内，所以Δ＞0恒成立，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，，
又，
，
即，解得，
则直线l的方程为．
【点评】本题考查了求解有关直线和圆锥曲线的位置关系的问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），直线x＝my+3与E交于A、B两点，且 6，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点C的坐标为（﹣3，0），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值．
【答案】（1）y2＝x；
（2）证明：由直线CA的斜率k1，k1，
CB的斜率k2，k2，
∴m，m，
∴2m2＝（m）2+（m）2﹣2m2，
＝2m2+12m（）+36×（）﹣2m2，
＝2m2+12m362m2，
由（1）可知：y1+y2＝2pm＝m，y1 y2＝﹣6p＝﹣3，
∴2m2＝2m2+12m×（）+362m2＝24，
∴2m2为定值．
【分析】（1）由题意可知：将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理可知：y1+y2＝2pm，y1 y2＝﹣6p， x1 x2+y1 y2y1 y2，求得9﹣6p＝6，求得p的值，即可求得抛物线E的方程；
（2）由直线的斜率公式可知：k1，k2，2m2＝（m）2+（m）2﹣2m2＝2m2+12m362m2，由（1）可知：y1+y2＝2pm＝m，y1 y2＝﹣6p＝﹣3，代入即可求得2m2＝24．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：y2﹣2pmy﹣6p＝0，
由韦达定理可知：y1+y2＝2pm，y1 y2＝﹣6p，
则x1 x2
由 x1 x2+y1 y2y1 y2＝9﹣6p＝6，解得：p，
∴y2＝x；
（2）证明：由直线CA的斜率k1，k1，
CB的斜率k2，k2，
∴m，m，
∴2m2＝（m）2+（m）2﹣2m2，
＝2m2+12m（）+36×（）﹣2m2，
＝2m2+12m362m2，
由（1）可知：y1+y2＝2pm＝m，y1 y2＝﹣6p＝﹣3，
∴2m2＝2m2+12m×（）+362m2＝24，
∴2m2为定值．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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