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沂源县第二中学2024-2025学年高二上学期11月阶段性考试数学试题
一、单选题
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．1 D．
2．圆与的位置关系为（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
3．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2+y2+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（ ）

A．与 B．与 C．与 D．与
8．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
二、多选题
9．下列各组中的两个向量，互相平行的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．如果，那么
C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么
11．下列结论错误的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角为150°
C．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D．与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有两条
三、填空题
12．若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是 ．
13．如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则 .（用表示）

14．若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．
(1)BC边上的高线的方程；
(2)BC边的垂直平分线的方程．
16．生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
17．光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，
(1)求圆C的方程
(2)设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．
18．设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，且．

(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B A B A D BD BCD
题号 11
答案 ABD
1．A
由斜率的计算公式直接求解即可.
【详解】由题意点，
所以直线的斜率是.
故选：A．
2．B
根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径为，
，
，
圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆内切.
故选：B.
3．A
若方程的曲线是圆，则有，解之得或，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】方程的曲线是圆，则有，
解之得或，
则“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“方程的曲线是圆”的充分不必要条件.
故选：A．
4．B
分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．
故甲获得最终胜利的概率为.
故选：B
5．A
利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解.
【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得 由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有，
故选：A
6．B
利用列举法列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】假设《周髀算经》《九章算术》分别为1，2，《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》分别为，，，则基本事件有，，，，，，，，，共10个，
其中恰好有一个是汉代著作的有，，，，，共6个，
所以所求概率为.
故选：B
7．A
【详解】以为原点，分别以所成在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
由，
因为，所以，所以A正确；
由，
因为，所以，所以B不正确；
由，所以，所以C不正确；
由，
因为，所以，所以D不正确；
故选：A.

8．D
根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是.
故选：D
9．BD
根据共线向量定理直接判断即可.
【详解】在A中，，因为，故A中两个向量不平行，故A错误；
在B中，由，可得，故B中两个向量平行，故B正确；
在C中，，因为，故C中两个向量不平行，故C错误；
在D中，由，可得，故D中两个向量平行，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.
【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；
B选项：若，则，B选项正确；
C选项：与互斥，那么，C选项正确；
D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；
故选：BCD.
11．ABD
A.将化为，得到即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【详解】A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；
C. 圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；
D.因为圆的圆心为，半径为，
当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴 轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；
故选：ABD.
12．
列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可.
【详解】从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种，所以取出两个颜色相同球的概率为.
故答案为：.
13．
【详解】为中点，；
，；
.
故答案为：.
14．或
曲线的图像是一个半圆，结合图象通过讨论直线的位置，求出的范围即可.
【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为2的下半圆，
根据题意画出图形，如图所示：

当直过时，将坐标代入直线方程得：，即；
当直过时，将代入直线方程得：，即；
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
即，即，（舍）或，
则直线与曲线只有一个公共点时的范围为：或.
故答案为：或.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以BC边上的高线的斜率 ，
故BC边上的高线的方程为：,
即所求直线方程为：.
（2）因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，
又BC的中点为，
故BC边的垂直平分线的方程为：，
即所求直线方程为：.
16．(1)0.088;(2)0.086.
【解析】（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.
（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从甲 乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：在直线中，令，则，
由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，
则反射光线所在直线的斜率为，且过点，
所以直线关于x轴的对称直线为，
点（2，8）到直线距离，
圆方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
即.
18．(1)；
(2).
(1) 由题意，，解出 及的值即可；
(2)先求出直线的方程，代入椭圆方程得，由弦长公式求出弦长，再求出点到直线的距离即可求的面积.
【详解】（1）解：由题意得，且，∴，，
故，
∴椭圆的方程为．
（2）解：由题意可知过点的直线的方程为：，
代入椭圆方程，可得，判别式恒成立，
设，，则，，
∴，
由点到直线的距离，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．

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