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2024-2025学年江西省吉安市吉安县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示几何体的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是2，则a的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.若点A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2
4.抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中6次正面朝上，4次正面朝下，则再次抛掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A. 1 B. C. D.
5.如图所示，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，对角线AC，BD交于点O.过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段AE的长为（　　）
A.
B. 1
C.
D.
6.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A. -2a+3
B. -2a+1
C. -2a+2
D. -2a-2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知在一个不透明的袋子里面有4个红球和n个白球，每个球除颜色外均相同.现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则n= .
8.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD成为矩形.
9.已知关于x的反比例函数，在函数图象的每一支曲线上，y的值随x的增大而增大，则k的取值范围是 .
10.如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD=1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG=______．

11.如图所示，现有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是480cm3，设矩形的宽为x,则可列方程为 .
12.如图所示是一张矩形纸片ABCD，已知AB=9，AD=8，E为边AB上的一点，AE=5，点P在矩形ABCD的一边上.要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为 .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
（1）x（x-2）=3x-6；
（2）如图所示，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD的面积.
14.(本小题6分)
如图所示，在矩形ABCD中，AB=24cm,动点M从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点N从点C开始沿CD边以2cm/s的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为t s,则当t为何值时，四边形AMND是矩形？
15.(本小题6分)
2024年秋季开学期，全国各地都在实行“阳光分班”，“阳光分班”的宗旨是实现教育公平公正，促进教育健康发展，实施的方法是将学生等可能随机分到各班，教师也等可能随机分到各班.吉安县某初中七年级有180名学生，依据每班不能超过50人的要求，将180名学生平均分成4个班，分别命名为七（1）班、七（2）班、七（3）班、七（4）班.
（1）求小明分到七（2）班的概率为______.
（2）小明和小强是一对要好的朋友，而且他们小学六年级是同班同学，他们俩想在这次“阳光分班”中分到同一个班，问他们分到同一班的概率是多少？
16.(本小题6分)
已知四边形ABCD是矩形，点E是AD边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）如图①中，过点E作线段EF，使得EF∥AB，交BC于点F；
（2）如图②中，在线段CD上找一点G，使得EG∥AC，连接EG.
17.(本小题6分)
在数学探究活动中，李明同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的标杆影长为0.8m,同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离BC=10m,旗杆在教学楼墙上的影长CD=1.5m,求旗杆AB的高.
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k=0有实数根.
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值.
19.(本小题8分)
直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
20.(本小题8分)
如图所示，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在射线CA上，连接DE，点F是DE的中点，连接AF.
（1）如图①，当AE=AO时，则线段AF与线段OE的位置关系是______，AF=______.
（2）如图②，当AE=EO时，求线段AF的长.
21.(本小题9分)
【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题.
如图，已知△ABC～△A′B′C′，，点D，D′分别是线段CA，C′A′上的动点，连接BD，B′D′.
（1）若点D，D′分别是线段CA，C′A′上的中点时，求证：.
证明：∵△ABC～△A′B′C′，
∴，∠C=∠C′，∠A=∠A′.
…
请完成以上证明过程.
（2）在（1）的前提下，如图，当△ABC的面积为4时，则△A'B'D'的面积为______；
（3）点D，D′分别在线段CA，C′A′上的运动时，当=______时，△ABD～△A′B′D′，并求出的值.
22.(本小题9分)
如图，一次函数y=-x+n与反比例函数相交于点A，B两点，点A的坐标为（-1，4），直线AB交x轴于点D，交y轴于点C，点E是线段CD上一点，EF⊥y轴交反比例函数图象于点F，交y轴于点N，连接AF.
（1）请直接写出n=______，m=______；
（2）当AF=AE时，△AEF是______三角形，并求点E的坐标；
（3）在第（2）问条件下，连接BF，问直线BF是否经过原点O，请说明理由.
23.(本小题12分)
如图（1）四边形ABCD是正方形，AB=4，点E是CD上的一点（不与点C、D重合），连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF并延长交AB的延长线于点G.
初步感知
（1）①当DE=1时，求点F到CD边上的距离；
②当点E是CD边上任意一点时，试判断△BCG的形状，并说明理由；
深入探究
（2）如图（1），当点E是CD边上任意一点时，求的值.
延伸应用
（3）如图（2）当四边形ABCD是菱形时，AB=4，∠DAB=60°，旋转角∠AEF=120°时，则的值为______.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】6
8.【答案】AC=BD（答案不唯一）
9.【答案】k＜4
10.【答案】4:9
11.【答案】4（2x-8）（x-8）=480
12.【答案】或或5
13.【答案】x1=2，x2=3；

14.【答案】t=4．
15.【答案】；

16.【答案】见解析；
见解析
17.【答案】14米．
18.【答案】k≤0；
k=-2
19.【答案】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件，
依题意，得：（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，
整理，得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
20.【答案】垂直，2；

21.【答案】∵△ABC～△A′B′C′，
∴，∠C=∠C′，∠A=∠A′，
∵，
∴，
∵∠C=∠C′，
∴△BCD∽△B′C′D′，
∴；；
8；
，
22.【答案】3；-4；
等腰直角，E（2，1）；
直线BF经过原点O；理由如下：
∵点B是直线与双曲线的交点，
∴，
∴x2-3x-4=0，
解得：x1=4，x2=-1（不合题意，舍去），
∴点B的坐标为（4，-1），
由 可知点F（-4，1），
∵点B与点F的横纵坐标互为相反数，
∴关于原点对称，
∴直线BF经过原点O
23.【答案】①1；
②△BCG是等腰直角三角形；理由如下：
∵△ADE≌△EHF，
∴EH=AD=CD，
∴CH=DE，
∵FH=DE，
∴CH=FH，
∴∠HCF=45°，
∵DH∥AG，
∴∠G=∠HCF=45°，
∵∠CBG=90°，
∴△BCG是等腰直角三角形；
；

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