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2024-2025学年内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗三中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.若P（x,3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是（　　）
A. 12 B. -12 C. 64 D. -64
3.将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）
A. y=5（x+2）2+3 B. y=5（x-2）2+3 C. y=5（x-2）2-3 D. y=5（x+2）2-3
4.下列各组图形一定相似的是（）
A. 所有等腰三角形都相似 B. 所有等边三角形都相似
C. 所有菱形都相似 D. 所有矩形都相似
5.下列方程中，无实数根的方程是（　　）
A. x2+3x=0 B. x2+2x-1=0 C. x2+2x+1=0 D. x2-x+3=0
6.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示.若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A. 2分米
B. 3分米
C. 4分米
D. 5分米
7.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是（　　）
A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C. 图象的顶点坐标为（-1，-3） D. 图象的对称轴在y轴的右侧
8.已知⊙O的半径为5，OA=4，则点A在（　　）
A. ⊙O内 B. ⊙O上 C. ⊙O外 D. 无法确定
9.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BD= .
11.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
12.已知圆锥的底面半径为6cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面积是 .
13.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA=2，∠APB=60°，则PB= .
14.韩国发生中东呼吸综合症，一人感染，经过两轮传染后共有81人感染，这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人？列方程为______．
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程：
（1）x2+2x-2=0；
（2）4（x-2）=-（2x-1）（x-2）.
16.(本小题8分)
在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，2）.
（1）把△ABC向下平移8个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出A1坐标.
（2）以原点O为对称中心，画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
17.(本小题10分)
甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（　　）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A），请列出事件A的所有可能的结果，并求事件A的概率．
18.(本小题10分)
如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM=x.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值.
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC．BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC．当S△PBC=S△ABC时，求点P的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】y=x2+2（答案不唯一）
12.【答案】60πcm2
13.【答案】2
14.【答案】1+x+（1+x）x=81
15.【答案】，；
x1=2，
16.【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（-5，-6）；
（2）△A2B2C2如图所示，B2（1，6）．
17.【答案】解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为a、b、c，
根据题意画出树状图如下：
一共有6种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、（bca）、（cab）、（cba），
3人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有2种，
所以，P（A）==．
18.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°．
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB．
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽△Rt△AMN，必须有：，
由（1）知：，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x=2．
19.【答案】解：（1）BC与⊙O相切．
理由如下：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2.
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12.
解得：x=2，即OD=OF=2.
∴OB=2+2=4.
∵Rt△ODB中，OD=OB，
∴∠B=30°.
∴∠DOB=60°.
∴S扇形DOF==，
则阴影部分的面积=S△ODB-S扇形DOF=×2×2-=2-．
故阴影部分的面积为2-．
20.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）过点A（-2，0）和点B（8，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为：y=-x2+3x+8；
（2）当x=0时，y=8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y=-x+8，
∵S△ABC=AB OC==40，
∴S△PBC=S△ABC=24，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设P（t，-t2+3t+8），
∴F（t，-t+8），
∴PF=-t2+4t2，
∴S△PBC=PF OB=24，
即×（-t2+4t2）×8=24，
∴t1=2，t2=6，
∴P1（2，12），P2（6，8）．
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