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2024-2025学年山东省聊城市高唐县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列汽车标志是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是（　　）
A. 代数式是分式 B. 当x≠4时分式有意义
C. 分式的值为0，则x的值为±3 D. 无论x为何值，总有意义
3.下列等式成立的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列命题中真命题的个数是（　　）
①两点确定一条直线；
②两点之间，线段最短；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤边长相等的两个等边三角形全等；
⑥三角形一条边上的中点到另两边的距离相等.
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
5.如图，E是AB延长线上一点，下列条件中能判定AB∥CD的有（　　）
A. ∠DAC=∠BCA
B. ∠DAB=∠CBE
C. ∠CBE+∠BCA+∠DCA=180°
D. ∠BAD=∠BCD且∠DAC=∠BCA
6.《隆昌市初中毕业生体育考试实施方案》中指出初中毕业生体育考试成绩由运动参与、运动技能测试、体质健康测试和统一体能测试四部分得分合成，其中体质健康测试在八年级下学期集中测试，满分30分.某学校体育老师对八年级（7）班全体学生进行了一次体质健康测试，成绩如下：
成绩/分 24 25 26 27 28 29 30
人数 5 10 12 15 5 2 1
根据表中信息判断，下列结论中错误的是（　　）
A. 该班一共有50名同学 B. 该班学生这次测试成绩的众数是27分
C. 该班学生这次测试成绩的中位数是27分 D. 该班学生这次测试成绩的平均数是26.3分
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD=DF，连接AF，则有（　　）
A. AB=BF B. AF=BF C. BF=CF D. AB=CF
8.如图，在△ABC和△DEF中，D，A，E，B在同一条直线上.下面五个条件：①AC=DF；②DA=EB；③EF=BC；④EF∥BC；⑤∠C=∠F，以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（　　）
A. ①②⑤ ④ B. ①②④ ③ C. ①③⑤ ② D. ②③⑤ ①
9.聊城与北京相距496千米，2024年1月10日济郑高铁通车后，在两地间行驶的高铁平均车速比原来动车平均车速提高了14%，时间比原来缩短了74分钟.设原来的平均车速为x千米/小时，根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别为BC、AC的中点，DF平分∠ADC交边AC于点F，P为AD上一动点，若使得PE+PF的值最小，下列四个示意图中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：= .
12.已知点A（m-1，-1），B（3，n+2）关于y轴对称，则mn= .
13.在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线与AB的所在的直线相交所成的锐角是46°，则∠B= .
14.已知，则= .
15.关于x的分式方程有增根，则m= .
16.如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BD，AD交于点D，延长BA，BC，DG⊥BE，DH⊥BF，下列说法正确的是 .
①CD平分∠ACF；
②∠ACB=∠ADB；
③S△ADC=S△DHC+S△DGA；
④2∠ADC+∠ABC=180°.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
（1）先化简，再求值：，其中m=2.
（2）解方程：.
18.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，4），C（5，1）.
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
（2）若点P到点A，B，C的距离相等，则点P的坐标是______；
（3）直线l过点M（0，-1）且平行于x轴，△ABC关于直线l的对称图形是△A'B'C'，写出△A'B'C'的三个顶点的坐标.
19.(本小题9分)
毒品危害人们的身心健康，吞噬人们的肉体和灵魂，直接毁灭我们的美好生活，某校为了解该校对禁毒知识的掌握情况，对不同年级甲、乙两个班的同学（抽取的两个班的学生人数相等）进行了知识测试，并对得分情况进行了整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），把结果分为A等级：85≤x≤100，B等级：70≤x＜85，C等级：0≤x＜70，并绘制成如上统计图，其中甲班学生测试成绩数据的众数出现在A等级，A等级的测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；乙班学生成绩数据的A等级共有c人.
甲乙两个班样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
成绩 甲班 乙班
平均数 86 86
中位数 a 90
众数 b 95
方差 90.5 89.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=______，b=______，c=______.
（2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的n=______，=______，______班的样本成绩的离散程度更大.
（3）结合以上数据，你认为那个班的测试成绩更好？并说明理由.
20.(本小题10分)
在△ABC中，P，F分别是边AB，BC边上的点，作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接PF，若PD=PE，PF=FC.
（1）求证：CE=CD；
（2）若AC=BC，△ABC的面积为6，求△PFC的面积.
21.(本小题10分)
在△ABC中，DE垂直平分AC，连接CE，CE平分∠ACB.
（1）若∠CEB=46°，求∠B的度数.
（2）若BC=4，△ABC的周长比△EBC的周长多8，△EBC的面积为6，则三角形AEC的面积为多少？
22.(本小题12分)
随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛.某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书30本，A型机器人还1000本书所用的时间与B型机器人还800本书所用的时间相等.
（1）A、B两种机器人每小时分别还多少本书？
（2）图书馆现有900本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书2小时后，A型机器人因另有任务而退出，求A型机器人退出后，B型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？
23.(本小题12分)
阅读与思考
下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日星期四
今天数学课，复习完三角形全等的证明方法和直角三角形的性质之后，重点解决了一个数学问题：△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC边上的高，点E是DC上的任意一点，作BF⊥AE于点F，交AD于点G，根据题意可以得到如下两个结论吗？并说明你的理由.
（1）BD=AD=DC；
（2）DG=DE.
第一个结论：
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD是斜边BC边上的中线（依据）.
∴BD=DC.
又∵∠ABC=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形.
∴BD=AD=DC.
第二个结论…
（1）以上证明过程中，依据是______.
（2）请帮助小亮证明第二个结论：DG=DE.
（3）除了以上两个结论外，你还能得到哪些相等的线段，并说明你的理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】-1
12.【答案】
13.【答案】68°或22°
14.【答案】
15.【答案】或3
16.【答案】①③④
17.【答案】，；
无解
18.【答案】
6；
P（3，2）；

A′（1，-3），B′（4，-6），C′（5，-3）
19.【答案】86，95，13；
20，86，甲；
乙班的测试成绩比较好，理由：两个班的平均成绩相同，但是乙班的中位数比甲班的大，并且乙班的方差比甲班的方差小，即乙班的成绩更加稳定，所以乙班的成绩比较好
20.【答案】∵PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，
∴∠PDC=∠PEC=90°，
在Rt△CPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△CPD≌Rt△CPE（HL），
∴CE=CD；

21.【答案】111°；
12．
22.【答案】A型机器人每小时还书150本，B型机器人每小时还书120本；
3小时
23.【答案】等腰三角形三线合一；
∵ BF⊥AE，AD⊥BD，∠AGF=∠BGD，
∴∠GBD=∠GAF，
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（ASA），
∴DG=DE；
相等的线段还有BG=AE，AG=CE；理由如下：
由 中△BDG≌△ADE，
∴BG=AE，∠BGD=∠AED，
在△ABG和△CAE中，∠AGB=180°-∠BGD，∠AEC=180°-∠AED，
∴∠AGB=∠AEC，
在△AGB和△CEA中，
，
∴△ABG≌△CAE（AAS），
∴AG=EC，
∴相等的线段BG=AE，AG=CE
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