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数学参考答案
1.【答案】C
y 2
【解析】由双曲线 x 2 1方程可知 a 1,又 b 2 ,所以双曲线的渐近线方程为 y 2x ,故选 C.
4
2.【答案】D
【解析】复数 z在复平面内对应的点 3,m 在直线 x 3y 0上，所以 3 3m 0，m 1， z 1 i = 3 i 1 i 4 2i，
故选 D.
3．【答案】A
8 2 2 2 3 a sin A 3
【解析】由 b2 c2 a2 bc得 cos A b c a 4 ,因为 0 A ，所以 sin A , ,故选 A.
5 2bc 5 5 c sinC 2
4.【答案】B
【解析】显然 a 0不满足题意,若 a 0 ,则 B x x a2 ,不满足 A B = x 2 x 5 ,若 a 0 ,则 B x x a2 ,由
A B = x 2 x 5 ,得 a2 2 , a 2 ,故选 B.
5．【答案】B
a,b a b kb
2 k 2
【解析】因为向量 相互垂直,且 a 2 b ,不妨设 a 2,0 ,b 0,1 ,则 cos a kb,b = ,
a kb b 4 k 2 2
所以 k 2 ,故选 B.
6．【答案】A
【解析】 g x f x
π
= cos
x π π , f x , g x 的图像关于 y轴对称,则
3 3 3
g x f x cos π π π x
π
cos π x ,所以 2kπ ,k Z ,即 6k 2,k Z ,又 0 ,所以 的最
3 3 3 3 3
小值为 4,故选 A.
7．【答案】D
3 21 9 21
【解析】设C半焦距为 c，因为 F(1,0)，故 c 1.又C 过点 P( , )，故 2 2 1.由椭圆的几何性质有2 4 4a 16b
2 2
a2 b2 c2 b2 1，故 a2 4， b2 3 x y .所以 C 的方程为 1 .设 C 的左焦点为 F ，则 |PQ| |QF |≤
4 3
| PF | |QF | |QF | | PF | 5 21 2a 4 ，当且仅当 P，F ，Q三点共线时等号成立.
4 4
8．【答案】B
数学参考答案 第 1 页（共 9 页）
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【 解 析 】 g x1 x2 g x1 g x2 2 中 取 x1 0, x2 0 , 得 g 0 2 , 即 c 2 , 取 x1 x, x2 x , 得
g x g x = 4 ,即 2ax2 4 4 ,所以 a 0 , g x x 2 , f x 是周期为 2 的周期函数, f x 0,6 ,作出函数
f x 的图像及直线 y x 2 ,可得两图像有 7个交点,故选 B.
9．【答案】BC
【解析】对于 A, 0 , x2 3x 3 0 ,不满足题意；对于 B, x 101时 101 10 11 10 1 ,满足题意；对于
C, 2x 21 x 2 2 3 ,当 x 1 时取等号, 2 2 3 0 ,满足题意；对于 D,当 x 0 时不满足题意, x 0 ,左边
2
1 1 1 1
0 ,不满足题意,故选 BC.
5 1000 x2 4
5
1024 4
x2
10．【答案】ACD
【解析】因为 f x x3 3x a ,所以 f x 3x2 3,设过点 P的直线与 f x 的图像切于点Q t, t3 3t a ,则切线
fk f t t b
3
3t2 3 t 3t a b斜 率 , 即 , 去 分 母 整 理 得 2t3 3at2 4a b 0 , 切 线 有 3 条 , 设
t a t a
g t = 2t3 3at2 4a b , 则 g t 有 3 个 零 点 , g t 6t2 6at , 令 g t 0 , 得 t 0 或 t a , 所 以
g 0 g a 4a b a3 4a b 0 ,对于 A,取 a 1 ,得 b 4 b 5 0 ,A 正确;对于 B,取 a 0 ，则
g (0) 4a 0，不满足，B错误;对于 C,令 b 5a , a 1,则 g (0) a 0 ， g (a) a 3 a 0，C正确;对于 D,
令 b 4a2 , a 2 ,则 g (0) 4a(a 1) 0， g (a) a(a 2)2 0，D正确；故选 ACD.
11．【答案】BC
1
【解析】对于 A,若 ,则 P为 A1C中点,点 P在对角线 AC1上,因为 AC1 BD ,所以 A错误；2
数学参考答案 第 2 页（共 9 页）
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1
对于 B,若 AP∥平面 BC1D ,因为平面 AB1D1∥平面 BC1D ,所以点 P为 A1C与平面 AB1D1的交点, ,B正确；3
1
对于C,若O在底面ABCD上,则O为正方形ABCD的中心，又OP=OA=OC,所以 AP⊥A1C，故AP∶PC=1∶2，则 ,3
根据 B可知，此时 AP∥平面 BC1D ,又易知 A，P，C1，O共面，故 AP∥C1O,C正确；
对于 D,由 A1C 平面 BDP ,可得
EP 2 2 AC , tan PCE , tan CQE tan PCE
CE 2 2
,CQ 2 ,D错误,故选 BC.
2 2 2 CQ CQ 2
数学参考答案 第 3 页（共 9 页）
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12.【答案】0.4
2
【解析】因为 X ～ N 20, ,且 P X 23 0.1,所以 P(17 X 20) 0.5 0.1 0.4 .
24
13.【答案】
25
1
tan tan 2
【解析】因为 tan
1
2, tan ,所以 tan tan
3
2 = = 1 ,所以2 1 tan tan 1 2 4
2
2sin cos 2 tan 24
sin2 2sin cos = 2 = sin . cos2 1 tan2 25
14.【答案】14
【解析】
9 1 3
2 8 5
4 6 7
在如上数表中的所有行及所有列中，两个数之和最大值为8 6 14 .下面说明对于任意的填好的数表，一定存在某一
行或某一列中的两个数之和不小于14 .将9，8，7，6这 4个数填入数表，则它们中至少存在一个数（记为 x）与它
们中另外两个数（记为 y和 z）的其中一个在同一行，另一个在同一列，又 x y和 x z中至少有一个不小于14，
故一定存在某一行或某一列中的两个数之和不小于14 .所以m的最大值为14 .
15.（13分）
【解析】（1）用事件 A表示抽到的是合格品，把抽到的产品标记为合格品为事件 B，
则 P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)………………………………………………………………………………5分
0.9 0.9 0.1 (1 0.95) 0.815 . .………………………………………………………………………7分
（2）设系统的误判率为 P，则
P 0.05 p 0.1 (1 p) 0.1 0.05 p . ……………………………………………………………………………11分
数学参考答案 第 4 页（共 9 页）
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故随着 p的降低，系统的误判率 P升高…………………………………………………………………………………13分
16.（15分）
【解析】（1）由 an 1 an t an an 1 n 2 及 bn an 1 an得
bn tbn 1 n 2 ,
所以数列 bn 是公比为 t的等比数列,且 b1 1,…………………………………………………………………………2分
所以 bn t
n 1 ,………………………………………………………………………………………………………………4分
n
S 1 tn .…………………………………………………………………………………………………………………6分1 t
（2）因为 a1 1,若 an 是等比数列,则 a 22 a1a3 a3 ,
2
所以 a2 a2 t a2 1 ,即 a2 a2 1 t a2 1 ,
因为 a2 1,a2 1 0,所以 a2 t ,………………………………………………………………………………………9分
下面证明 a2 t时 an 是等比数列：
由已知 an 1 an 是公比为 t的等比数列,
n 1
所以 an 1 an t 1 t ,
所以 n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1
t 1 1 tn 1=1 t 1 1 t t2 tn 2 1 tn 1,1 t
当 a n 11 1也满足上式,所以 an t , ……………………………………………………………………………………13分
an 1 t
a ,又 t 1，故数列 an 可以是首项为 1,公比为 t的等比数列，此时 a2 t . .………………………………15分n
17.（15分）
【解析】（1）因为 PF 1 FD , AG 1 GD ,所以 FG ∥ PA , …………………………………………………………1分
3 3
因为 PA 平面 ABCD ,所以 FG 平面 ABCD ,
数学参考答案 第 5 页（共 9 页）
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因为 AD 平面 ABCD ,所以 FG AD ,.…………………………………………………………………………………2分
取 AC中点H ,因为 E为 PC中点,所以 EH ∥ PA , E ,F ,G,H 共面, .…………………………………………………3分
因为四边形 ABCD是边长为 4的菱形， BAD 2π ,
3
π
所以在△ AGH 中 AG 1， AH 2， GAH ，
3
所以GH
π
AG2 AH 2 2AG AH cos 3 AG2 GH 2 AH 2
3 = , ，
所以GH AD ,.……………………………………………………………………………………………………………4分
因为 FG GH G ,所以 AD 平面 EFGH ,.……………………………………………………………………………5分
因为 EF 平面 EFGH ,所以 AD EF . ..…………………………………………………………………………………6分
（2 1 1 3）由 PE PC , PF PD,GD AD ,可得
2 4 4
V 1 1 11 VF PGE VE PGF VC PGF V2 2 4 C PGD
= 1V 1 3V 3 V 3 1 3C PGD V V ,8 8 4 C PAD 32 P CAD 32 2 2 64 2
V 3
所以 1 ..………………………………………………………………………………………………………………9分
V2 64
（3）取 BC中点 M,连接 AM,由题意可得 AM , AD, AP两两垂直,以点 A为原点, AM , AD, AP所在直线分别为 x轴、y
轴、 z轴,建立空间直角坐标系.…………………………………………………………………………………………10分
则 A 0,0,0 ,B 2 3, 2,0 ,C 2 3,2,0 ,P 0,0,2 , E 3,1,1 , F 0,1, 3 ,
2
1 EF 3,0, , BC 0,4,0 ,PC 2 3,2, 2 ,……………………………………………………………………12分
2
数学参考答案 第 6 页（共 9 页）
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n BC 0 4 y 0
设平面 PBC 的法向量为 n= x, y, z ,则有 ,得 ,
n PC 0 2 3x 2 y 2z 0
取 z 3 ,得 n= 1,0, 3 , ………………………………………………………………………………………………13分
设直线 EF 与平面 PBC所成角为 ,
1
n EF 1 3 0 0 3 2 39
则 sin = ,
n EF 2 26
12 02
2 2
3 3 02 1
2
39
所以直线 EF 与平面 PBC所成角的正弦值为 .……………………………………………………………………15分
26
18.（17分）
s2 x2 x
【解析】（1）设 P s, ,由 x2 2py ,得 y , y ,
2p 2p p
s2 s
所以 C在点 P处的切线方程为 y x s ,2p p
y s x s
2
即 ,
p 2p ……………………………………………………………………………………………………………3
分
y 0 Q s
2
令 ,得 ,0
s
,令 x 0 ,得 R 0, ,
2 2p


s2 s2
所以OP OR s, 0, s,0 2OQ2p 2p .………………………………………………………………………6分
（2）（i）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,
y kx 4与 x2 2py联立得 x2 2pkx 8p 0 ,
所以 x1 x2 2 pk , x1x2 8p , ……………………………………………………………………………………………8分
因为以线段 AB为直径的圆过点 O,

所以OA OB x1x2 kx1 4 kx2 4 1 k 2 x 2 21x2 4k x1 x2 16 8p 1 k 8pk 16 16 8p 0 ,
所以 p 2 ,C的方程为 x2 4y .…………………………………………………………………………………………11分
x 2 x 2
（ii）设M x 3 4 3, ,N x4 , x3 0, x4 0 ,
4 4
数学参考答案 第 7 页（共 9 页）
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x x
则线段OM的斜率为 3 ,直线ON的斜率为 4 ,
4 4
因为点D 0,2 x x在 MON的平分线上,所以 3 4 0 , x4 x4 4 3 ,
2
所以直线OM的方程为 x3x 4y 0 ,直线MN 的方程为 y
x
3 ,
4
8 x 23
由点 D到直线OM ,MN距离相等得 22 4 , ……………………………………………………………14分x3 16
设 t x 23 16 ,则 t 4 ,且 t3 24t 32 0 ,
即 t t2 16 8 t 4 t 4 t2 4t 8 0 ,
所以 t2 4t 8 0 , t 2 2 3 , x 23 t
2 16 8 3 ,
2
所以 r x 3 2 2 3 2 .…………………………………………………………………………………………………17分
4
19.（17分）
3
【解析】(1)当 a 1时 f x x 1 e1 x ,
x
1 1 x
所以 f x 2x 2 e , .………………………………………………………………………………………………1分x
g x f x g x 2 2 e1 x设 ,则 0,
x3
所以 f x 在 0, 单调递增, .………………………………………………………………………………………3分
因为 f 1 0 ,所以 x 0,1 时 f x 0 , x 1, 时 f x 0 ,
所以 f x 的单调递减区间为 0,1 ,单调递增区间为 1, .…………………………………………………………4分
(2) f x 3ln x x 1 2 1 ,即 e x 3ln x a ,.……………………………………………………………………………5分
x
h x =ex 1 x2 1设 3ln x
2 1
,则 h x ex 1 2 x 2x 2 3ln x

,
x x x .………………………………………………6
分

x x2 2x 2 1 3ln x x 2x 2 2 3 2
2
设 2 ,则 3 2 2 2x 3 2
1 3 7 0 ,x x x x x x x 4 8
所以 x 在 0, 单调递增,且 1 0 , .…………………………………………………………………………8分
所以 x 0,1 时 x 0,h x 0,h x 单调递减,
数学参考答案 第 8 页（共 9 页）
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x 1, 时 x 0,h x 0,h x 单调递增, .………………………………………………………………………9分
所以 h(x)≥ h(1) 2 ,
所以 a≤ 2， a的取值范围是[ 2, ) . ..……………………………………………………………………………10分
（3）由（2）可知，若 a 2，则 f (x)≥3ln x，当且仅当 x 1时等号成立.
所以 f (s) f (1 ) 3ln s 3ln 1 3ln(s 1 ) 3ln1 0，故 f (s) f (1)，
s s s s
1 1 1
同理 f (t) f ( )，故 f ( ) f ( ) f (s) 1 1 f (t) 0，即 f ( ) f ( ) 0 . ………………………………………12分
t s t s t
当 a 2时， f (1) 0， f (x) 1 2x 2e1 x2 ，显然当 x≥1时， f (x) 0， f (x)单调递增.x
当 0 x 1时，令 k(x) f (x)，则 k (x) 2 2 3 2e
1 x，
x
1 1x 1 k (x) 4 2e 2 1当 ≤ 时， 0，当 0 x 时，k (x) 18 2e 0，故当 0 x 1时，k (x) 0，k(x) f (x)
2 2
1 2 1
单调递增，又 f ( ) 9 2e 0，且 f (1) 3 0，故存在唯一 x0 ( ,1)，使得 f (x0 ) 0，当 x (0, x0 ) 时，3 3 3
f (x) 0， f (x) 1单调递减，当 x (x0 ,1)时， f (x) 0， f (x)单调递增，又 f ( ) 8 2e 0， f (x0 ) f (1) 0，8
1
故存在唯一 x1 ( , x0 )，使得 f (x1) 0，故当 x (0, x1) (1, )时， f (x) 0，当 x (x1,1)时， f (x) 0 .…15分8
f (t) 1 1 1由上可知 f (s) f ( )，且 t, (1, )，故 t ，即 st 1，又因为 f (s) f (t) 0，故 x1 s st 1，s s s
即 st (x1,1)，所以 f (st) 0 .
f (st) 0 f (1综上， ) f (1) .……………..……………………………………………………………………………17分
s t
数学参考答案 第 9 页（共 9 页）
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