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第二节　认识万有引力定律
[教材链接] 1.(1)匀速圆周运动　引力
2.(1)球心　(2)　(3)同一性质
例1　AB　[解析] 开普勒第三定律=k是开普勒研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的,无法在实验室中得到验证,另外两个公式在实验室中可以得到验证,故选A、B.
变式1　C　[解析] 太阳对行星的引力表达式F∝,被吸引的物体为行星,其质量为m.行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同性质的力,行星对太阳引力的表达式与太阳对行星引力的表达式应有相同的形式.如果被吸引的物体是太阳且质量为M,则行星对太阳引力的表达式应为F∝,这一论证过程是类比论证过程,故C正确.
[教材链接] (1)吸引　连线　正比　反比
(2)F=G
(3)6.67×10-11 N·m2/kg2　卡文迪许
例2　AD　[解析] 万有引力定律适用于两质点间的相互作用,当两球体质量分布均匀时,可认为球体质量集中在球心,也可用万有引力定律计算万有引力,故A、D正确;当r→0时,两物体不能视为质点,万有引力定律不再适用,B错误;匀质大球球心周围各部分对匀质小球的万有引力的合力为零,故C错误.
变式2　B　[解析] 根据F=G知,两物体间的距离保持不变,两物体的质量均减为原来的,则万有引力减小为原来的;仅一个物体质量减为原来的,则万有引力减小为原来的,故A错误,B正确.根据F=G知,两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的,则万有引力变为原来的4倍;两物体间的距离变为原来的2倍,则万有引力变为原来的,故C、D错误.
例3　B　[解析] 设物体质量为m,则在火星表面有F1=G,在地球表面有F2=G,由题意知=,=,可得==×=0.4,故B正确.
变式3　B　[解析] 物体在地球表面,根据万有引力定律有F=,距地面h处有=,解得h=(-1)R,选项B正确.
随堂巩固
1.ABD　[解析] 太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒行星运动定律结合匀速圆周运动的规律推导出来的,它不是实验得出的,太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力,选项A、D正确,C错误;太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比,选项B正确.
2.C　[解析] 太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力,分别作用在两个物体上,是一对作用力与反作用力,不能进行合成,B、D正确,C错误;公式中的G为比例系数,与太阳、行星均没有关系,A正确.
3.D　[解析] 设两个质点的质量分别为m1、m2,根据题意可得F=G,其中一个质点的质量变为原来的2倍,另一质点的质量保持不变,万有引力F'=G=8F,故选D.第二节　认识万有引力定律
1.D　[解析] 太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力,A错误;行星对太阳的引力大小应与“太阳和行星间距离的二次方”成反比,B错误;太阳对行星的引力公式不是直接由实验得出的,它是在实验观察的基础上,利用开普勒定律和匀速圆周运动的规律推导出来的,C错误,D正确.
2.BD　[解析] F'和F大小相等,方向相反,是作用力与反作用力,选项A、C错误,B正确;太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力,选项D正确.
3.A　[解析] 根据F=G可知,在国际单位制中,引力常量在数值上等于两个质量是1 kg的质点相距1 m时万有引力的大小,选项A正确;在不同的单位制中,引力常量的数值是不相同的,选项B错误;计算不同物体间的万有引力时,引力常量的值是相同的,选项C错误;著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值之前进行的,选项D错误.
4.AD　[解析] G为引力常量,由卡文迪许通过实验测得,故A正确;当距离无穷小时,两个相互吸引的物体不能看成质点,万有引力公式不再适用,故B错误;两物体之间的万有引力总是大小相等,方向相反,是一对相互作用力,不是一对平衡力,与m1、m2是否相等无关,故C错误,D正确.
5.C　[解析] 若地球绕太阳的运动为圆周运动,则太阳对地球的吸引力提供向心力,即F=m2R,根据开普勒第三定律得=k,联立可得F=4π2k·∝,故A、B错误;类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力为F″=4π2k'·∝,故C正确;若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则a月==,a苹==,所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为=,故D错误.
6.D　[解析] 对两质量分布均匀的球体,F=G中的r为两球心之间的距离,则两球间的万有引力F=G,故选项D正确.
7.C　[解析] 由万有引力定律的表达式F=G可知,当两球体质量不变时,两球体之间的万有引力大小与它们球心间距离的二次方成反比,C正确.
8.C　[解析] 苹果与地球间的万有引力是相互作用力,大小相等,方向相反,但由于地球质量较大,加速度较小,故是苹果落向地球而不是地球向上运动碰到苹果,A、B、D错误,C正确.
9.B　[解析] 设海水的质量为m,则太阳对海水的引力F1=,月球对海水的引力F2=,则===≈176,故A、C、D错误,B正确.
10.D　[解析] 探测器在火星表面附近竖直减速下降过程,加速度竖直向上,所受合力方向竖直向上,处于超重状态,故A错误,D正确;根据万有引力定律得火星对“天问一号”的引力为F=G,故B错误;未落到火星表面时,火星对“天问一号”有吸引力,故C错误.
11.(1)G　(2)
[解析] (1)由万有引力定律可知球体与质点之间的万有引力F1=G=G.
(2)完整球体的质量M=ρ×πR3
挖去的小球质量
M'=ρ×π=ρ×πR3=
被挖掉的小球与质点之间的万有引力
F2=G=G=G
故剩余部分对质点的万有引力
F=F1-F2=
12.9∶1
[解析] 设月球的质量为M,则地球的质量为81M,飞行器的质量为m,飞行器距地心的距离为r1,飞行器距月心的距离为r2,由于地球对它的引力和月球对它的引力大小相等,根据万有引力定律得G=G,解得=.第二节　认识万有引力定律
学习任务一　行星绕日运动原因的探索　万有引力定律的发现
[教材链接] 阅读教材,完成下列填空:
1.行星绕日运动原因的探索
(1)英国天文学家雷恩和哈雷把行星沿椭圆轨道的运动简化为　　　　　　,太阳对行星的　　　　就是行星绕太阳运动的向心力.
(2)若行星的质量为m,行星到太阳的距离为r,行星绕太阳公转的周期为T,则太阳对行星的引力F引=,结合=k,可知F引=4π2k,即F引∝.
2.万有引力定律的发现
(1)牛顿引入了质点的概念,把庞大天体的质量集中于　　　　,以便于求出天体间引力的大小.
(2)根据牛顿第三定律,行星间的引力是相互的,即太阳吸引行星,行星也同时吸引太阳,根据F引∝可知,太阳受到行星的引力F引'应与太阳自身的质量M成正比,即F引'∝,因此有F引=F引'∝　　　　.
(3)牛顿通过思想实验与数学推导,证明了月球受到的引力与地面上的重力是　　　　的力,进而把引力推广到所有行星,乃至所有物体之间,由此发现了万有引力定律.
例1 (多选)[2024·执信中学月考] 下列说法正确的是 (　)
A.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式F=,这个关系式实际上是牛顿第二定律,是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式v=,这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式,它是由速度的定义得来的
C.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式=k,这个关系式是开普勒第三定律,是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳与行星间的引力规律时使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
[反思感悟]

变式1 在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中,得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式,这是一个很关键的论证步骤,这一步骤采用的论证方法是 (　)
A.研究对象的选取
B.理想化过程
C.类比法
D.等效的思维方法
【要点总结】
1.牛顿提出万有引力定律把地面上物体的运动和天体运动统一起来,揭示了天上、地下一切物体的普遍运动规律,建立了经典力学体系,实现了物理学史上第一次大综合.
2.万有引力定律的导出过程
学习任务二　对万有引力定律的理解和计算
[教材链接] 阅读教材, 完成下列填空:
(1)内容:宇宙间的一切物体都是互相　　　　的.两个物体间引力的方向在它们的　　　　上.引力的大小与它们质量的乘积成　　　　,与它们之间距离的二次方成　　　　.
(2)表达式:　　　　　　.
(3)引力常量
大小:G=　　　　　　　　　　　　,由英国科学家　　　　利用扭秤实验装置测出.
(4)适用条件:适用于质点间的相互作用.
例2 (多选)下列说法正确的是 (　)
A.万有引力定律F=G适用于两质点间的相互作用
B.根据F=G,可知当r→0时,两物体间的万有引力F趋于无穷大
C.把质量为m的匀质小球放在质量为M、半径为R的匀质大球球心处,则大球与小球间的万有引力F=G
D.两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用F=G计算,r是两球体球心间的距离
[反思感悟]

变式2 要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的,可采取的方法是 (　)
A.两物体间的距离保持不变,两物体的质量均减小为原来的
B.两物体间的距离保持不变,仅一个物体的质量减小为原来的
C.两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的
D.两物体的质量均不变,两物体间的距离变为原来的2倍
例3 [2024·广州六中月考] 我国发射的“天问一号”火星探测器实现了中国在深空探测领域的技术跨越而进入世界先进行列.已知,火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
变式3 [2024·汕头金山中学月考] 地球半径为R,一物体在地球表面受到的万有引力为F,若该物体在地球高空某处受到的万有引力为,则该处距地面的高度为 (　)
A.R B.(-1)R
C.R D.3R
【要点总结】
对万有引力定律的理解
(1)普遍性:任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子),万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一.
(2)相互性:两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种,力的作用是相互的,具有相互性,符合牛顿第三定律.
(3)特殊性:两物体间的引力只与它们的质量及距离有关,而与它们所在空间的性质无关,与周围是否存在其他物体无关.
(4)宏观性:地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计.在质量巨大的天体间或天体与物体间,它的存在才有宏观的物理意义.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(万有引力定律的发现过程)(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中正确的是 (　)
A.太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
2.(万有引力定律的发现)对于太阳与行星间的引力F=G,下列说法错误的是 (　)
A.公式中的G为比例系数,与太阳、行星均无关
B.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力,合力等于0,太阳和行星都处于平衡状态
D.太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
3.(万有引力定律的计算)两个质点相距r时,它们之间的万有引力为F,若它们间的距离缩短为,其中一个质点的质量变为原来的2倍,另一质点的质量保持不变,则它们之间的万有引力为(　)
A.2F B.4F
C.6F D.8F第二节　认识万有引力定律建议用时:40分钟
◆ 知识点一　万有引力定律的发现
1.关于行星对太阳的引力,下列说法正确的是 (　)
A.行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力
B.行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比,与行星和太阳间的距离成反比
C.太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D.太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
2.(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动知识得,太阳对行星的引力F∝,行星对太阳的引力F'∝,其中M、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离.下列说法正确的是 (　)
A.由F∝和F'∝,知F∶F'=m∶M
B.F和F'大小相等,是作用力与反作用力
C.F和F'大小相等,是同一个力
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
3.关于引力常量,下列说法正确的是 (　)
A.在国际单位制中,引力常量在数值上等于两个质量是1 kg的质点相距1 m时万有引力的大小
B.在不同的单位制中,引力常量的数值是相同的
C.计算不同物体间的万有引力时,引力常量的值是不同的
D.著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值后才进行的
◆ 知识点二　对万有引力定律的理解和计算
4.(多选)关于万有引力定律的表达式F=,下面说法中正确的是 (　)
A.公式中G为引力常量,它是由实验测得的
B.当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大
C.两物体相互的引力总是大小相等,方向相反是一对平衡力
D.两物体间相互的引力总是大小相等,而且与m1、m2是否相等无关
5.[2024·江门期中] 牛顿利用他的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来,并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系.设太阳质量为m1,地球质量为m2,月球质量为m3,地球与太阳间距离为R,月球与地球间距离为r.若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看作匀速圆周运动.关于得出万有引力定律的推理,下列说法正确的是 (　)
A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,太阳对地球的吸引力F∝
B.根据牛顿第三定律及对称性,地球对太阳的吸引力F'∝
C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力F″∝
D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为
6.如图所示,两球间的距离为r3,两球的质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,两球的质量分布均匀,引力常量为G,则两球间的万有引力大小为 (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.G B.G
C.G D.G
7.两个质量相等的均匀球体之间的万有引力大小为F,若将它们球心间距离增大为原来的3倍,其万有引力大小将变为 (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
8.苹果落向地球而不是地球向上运动碰到苹果,原因是 (　)
A.苹果质量小,对地球的引力小,而地球质量大,对苹果引力大
B.地球对苹果有引力,而苹果对地球无引力
C.苹果与地球间的引力是大小相等的,地球质量极大,不可能产生明显的加速度
D.以上说法都不对
9.[2024·中山期中] 太阳、月球对地球上某一区域海水引力呈周期性变化,引起潮汐现象.已知太阳质量为2.0×1030 kg,太阳与地球间的距离为1.5×108 km,月球质量为7.3×1022 kg,月球与地球间的距离为3.8×105 km.对同一片海水来说,设太阳对其引力为F1、月球对其引力为F2,则约为 (　)
A.2 B.200
C.7×104 D.4×1013
10.[2024·罗定中学月考] 如图所示为“天问一号”探测器在火星表面附近竖直减速下降过程,已知火星的质量为M、火星的半径为R,“天问一号”探测器的质量为m,引力常量为G,则此过程中 (　)
A.“天问一号”所受合力方向竖直向下
B.火星对“天问一号”的引力为F=G
C.未落到火星表面,火星对“天问一号”没有作用力
D.“天问一号”探测器中的设备处于超重状态
11.有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,引力常量为G,求:
(1)质点对球体的万有引力大小;
(2)现从球体中挖去半径为的球体(两球心和质点在同一直线上,且两球表面相切),如图所示,则剩余部分对质点的万有引力大小.
12.[2024·深圳中学月考] 地球质量大约是月球质量的81倍,一个飞行器在地球与月球之间.当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时,该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少 (共40张PPT)
第二节 认识万有引力定律
学习任务一 行星绕日运动原因的探索 万有引力定律的发现
学习任务二 对万有引力定律的理解和计算
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
学习任务一 行星绕日运动原因的探索 万有引力定律的发现
［教材链接］ 阅读教材，完成下列填空:
1.行星绕日运动原因的探索
(1)英国天文学家雷恩和哈雷把行星沿椭圆轨道的运动简化为______________，太阳对行星的______就是行星绕太阳运动的向心力.
(2)若行星的质量为，行星到太阳的距离为，行星绕太阳公转的周期为，则太阳对行星的引力，结合，可知，即.
匀速圆周运动
引力
2.万有引力定律的发现
(1) 牛顿引入了质点的概念，把庞大天体的质量集中于______，以便于求出天体间引力的大小.
球心
(2) 根据牛顿第三定律，行星间的引力是相互的，即太阳吸引行星，行星也同时吸引太阳，根据可知，太阳受到行星的引力应与太阳自身的质量成正比，即，因此有____.
(3) 牛顿通过思想实验与数学推导，证明了月球受到的引力与地面上的重力是__________的力，进而把引力推广到所有行星，乃至所有物体之间，由此发现了万有引力定律.
同一性质
例1 (多选)[2024·执信中学月考] 下列说法正确的是( )
AB
A.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式,这个关系式实际上是牛顿第二定律,是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式,这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式,它是由速度的定义得来的
C.在探究太阳与行星间的引力规律时,我们引用了公式,这个关系式是开普勒第三定律,是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳与行星间的引力规律时使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
[解析] 开普勒第三定律是开普勒研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的,无法在实验室中得到验证,另外两个公式在实验室中可以得到验证,故选A、B.
变式1 在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是( )
C
A.研究对象的选取 B.理想化过程 C.类比法 D.等效的思维方法
[解析] 太阳对行星的引力表达式，被吸引的物体为行星，其质量为.行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同性质的力，行星对太阳引力的表达式与太阳对行星引力的表达式应有相同的形式.如果被吸引的物体是太阳且质量为，则行星对太阳引力的表达式应为，这一论证过程是类比论证过程，故C正确.
【要点总结】
1.牛顿提出万有引力定律把地面上物体的运动和天体运动统一起来，揭示了天上、地下一切物体的普遍运动规律，建立了经典力学体系，实现了物理学史上第一次大综合.
2.万有引力定律的导出过程
学习任务二 对万有引力定律的理解和计算
［教材链接］ 阅读教材, 完成下列填空:
(1) 内容：宇宙间的一切物体都是互相______的.两个物体间引力的方向在它们的______上.引力的大小与它们质量的乘积成______，与它们之间距离的二次方成______.
(2) 表达式：___________.
(3) 引力常量
大小：_______________________，由英国科学家__________利用扭秤实验装置测出.
吸引
连线
正比
反比
卡文迪许
(4)适用条件：适用于质点间的相互作用.
例2 (多选)下列说法正确的是( )
AD
A.万有引力定律适用于两质点间的相互作用
B.根据,可知当时,两物体间的万有引力趋于无穷大
C.把质量为的匀质小球放在质量为、半径为的匀质大球球心处,则大球与小球间的万有引力
D.两个质量分布均匀的球体之间的相互作用力也可以用计算,是两球体球心间的距离
[解析] 万有引力定律适用于两质点间的相互作用,当两球体质量分布均匀时,可认为球体质量集中在球心,也可用万有引力定律计算万有引力,故A、D正确;当时,两物体不能视为质点,万有引力定律不再适用,B错误;匀质大球球心周围各部分对匀质小球的万有引力的合力为零,故C错误.
变式2 要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的，可采取的方法是( )
B
A.两物体间的距离保持不变，两物体的质量均减小为原来的
B.两物体间的距离保持不变，仅一个物体的质量减小为原来的
C.两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的
D.两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的2倍
[解析] 根据知，两物体间的距离保持不变，两物体的质量均减为原来的，则万有引力减小为原来的；仅一个物体质量减为原来的，则万有引力减小为原来的，故A错误，B正确.根据知，两物体的质量均不变，两物体间的距离变为原来的，则万有引力变为原来的4倍；两物体间的距离变为原来的2倍，则万有引力变为原来的，故C、D错误.
例3 [2024·广州六中月考] 我国发射的“天问一号”火星探测器实现了中国在深空探测领域的技术跨越而进入世界先进行列.已知，火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
B
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
[解析] 设物体质量为，则在火星表面有，在地球表面有，由题意知，，可得，故B正确.
变式3 [2024·汕头金山中学月考] 地球半径为，一物体在地球表面受到的万有引力为，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 物体在地球表面，根据万有引力定律有，距地面处有，解得，选项B正确.
【要点总结】
对万有引力定律的理解
(1)普遍性：任何两个物体之间都存在引力(大到天体小到微观粒子)，万有引力是自然界中物体间的基本相互作用之一.
(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力也是力的一种，力的作用是相互的，具有相互性，符合牛顿第三定律.
(3)特殊性：两物体间的引力只与它们的质量及距离有关，而与它们所在空间的性质无关，与周围是否存在其他物体无关.
(4)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计.在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义.
1.(多选)下列关于行星对太阳的引力的说法中正确的是( )
AD
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
C.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
D.行星对太阳的引力与行星到太阳的距离的二次方成反比
[解析] 行星对太阳的引力和太阳对行星的引力都是万有引力，性质相同，故A正确.根据万有引力定律可知，行星对太阳的引力与行星和太阳的质量的乘积成正比，与两者的质量都有关，故C错误.由牛顿第三定律可知，太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力，故B错误.根据万有引力定律可知，行星对太阳的引力与行星和太阳的质量的乘积成正比，与行星到太阳的距离的二次方成反比，故D正确.
2.两个质点相距时，它们之间的万有引力为，若它们间的距离缩短为，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点质量保持不变，则它们之间的万有引力为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设两个质点的质量分别为、，根据题意可得，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点质量保持不变，万有引力
故选D.
3.用弹簧测力计称量一个相对地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球的质量为，自转周期为，引力常量为.将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响.
设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数为，若在北极上空高出地面处称量，弹簧测力计读数为，若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为，求比值的表达式和比值的表达式.
[答案] ;
[解析] 设小物体质量为，在北极地面，在北极上空高出地面处
在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，有
，得，
4.如图所示,半径为的两个均匀金属球质量均为,两球心相距,内部各挖出一个半径为的球形空穴,空穴跟金属球相切.求挖出空穴后两球间万有引力的大小.(引力常量,结果保留两位有效数字)
[答案]
[解析] 将两球中挖出的部分分别放回两球中,设两填充球的质量均为
,则有,
可得.
两完整球之间的万有引力为,
两填充球之间的万有引力为,
填充球与另一完整球之间的万有引力为

以、分别表示两空腔球之间和填充球与空腔球之间的万有引力,则有,
由于,故.
1.(万有引力定律的发现过程)(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法中正确的是( )
ABD
A.太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
[解析] 太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒行星运动定律结合匀速圆周运动的规律推导出来的,它不是实验得出的,太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，选项A、D正确,C错误;太阳对行星的引力大小与太阳、行星的质量的乘积成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比,选项B正确.
2.(万有引力定律的发现)对于太阳与行星间的引力，下列说法错误的是( )
C
A.公式中的为比例系数，与太阳、行星均无关
B.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，太阳和行星都处于平衡状态
D.太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
[解析] 太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，B、D正确，C错误；公式中的为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确.
3.(万有引力定律的计算)两个质点相距时，它们之间的万有引力为，若它们间的距离缩短为，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点的质量保持不变，则它们之间的万有引力为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设两个质点的质量分别为、，根据题意可得，其中一个质点的质量变为原来的2倍，另一质点的质量保持不变，万有引力
，故选D.
知识点一 万有引力定律的发现
1.关于行星对太阳的引力，下列说法正确的是( )
D
A.行星对太阳的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力
B.行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C.太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D.太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
[解析] 太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力，A错误；行星对太阳的引力大小应与“太阳和行星间距离的二次方”成反比，B错误；太阳对行星的引力公式不是直接由实验得出的，它是在实验观察的基础上，利用开普勒定律和匀速圆周运动的规律推导出来的，C错误，D正确.
2.(多选)根据开普勒行星运动定律和圆周运动知识得，太阳对行星的引力，行星对太阳的引力，其中、、分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离.下列说法正确的是( )
BD
A.由和，知
B.和大小相等，是作用力与反作用力
C.和大小相等，是同一个力
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
[解析] 和大小相等，方向相反，是作用力与反作用力，选项A、C错误，B正确；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，选项D正确.
3.关于引力常量，下列说法正确的是( )
A
A.在国际单位制中，引力常量在数值上等于两个质量是的质点相距时万有引力的大小
B.在不同的单位制中，引力常量的数值是相同的
C.计算不同物体间的万有引力时，引力常量的值是不同的
D.著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值后才进行的
[解析] 根据可知，在国际单位制中，引力常量在数值上等于两个质量是的质点相距时万有引力的大小，选项A正确；在不同的单位制中，引力常量的数值是不相同的，选项B错误；计算不同物体间的万有引力时，引力常量的值是相同的，选项C错误；著名的“月—地检验”是在已知引力常量的数值之前进行的，选项D错误.
知识点二 对万有引力定律的理解和计算
4.(多选)关于万有引力定律的表达式，下面说法中正确的是( )
AD
A.公式中为引力常量，它是由实验测得的
B.当趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C.两物体相互的引力总是大小相等，方向相反是一对平衡力
D.两物体间相互的引力总是大小相等，而且与、是否相等无关
[解析] 为引力常量，由卡文迪许通过实验测得，故A正确；当距离无穷小时，两个相互吸引的物体不能看成质点，万有引力公式不再适用，故B错误；两物体之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对相互作用力，不是一对平衡力，与、是否相等无关，故C错误，D正确.
5.[2024·江门期中] 牛顿利用他的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来，并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系.设太阳质量为，地球质量为，月球质量为，地球与太阳间距离为，月球与地球间距离为.若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看作匀速圆周运动.关于得出万有引力定律的推理，下列说法正确的是( )
C
A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，太阳对地球的吸引力
B.根据牛顿第三定律及对称性，地球对太阳的吸引力
C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力
D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为
[解析] 若地球绕太阳的运动为圆周运动，则太阳对地球的吸引力提供向心力，即，根据开普勒第三定律得，联立可得，故A、B错误；类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出，地球对月球的吸引力为，故C正确；若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力，则，，所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为
，故D错误.
6.如图所示,两球间的距离为,两球的质量分别为、,半径分别为、,两球的质量分布均匀,引力常量为，则两球间的万有引力大小为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对两质量分布均匀的球体,中的为两球心之间的距离,则两球间的万有引力,故选项D正确.
7.两个质量相等的均匀球体之间的万有引力大小为，若将它们球心间距离增大为原来的3倍，其万有引力大小将变为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由万有引力定律的表达式可知，当两球体质量不变时，两球体之间的万有引力大小与它们球心间距离的二次方成反比，C正确.
8.苹果落向地球而不是地球向上运动碰到苹果，原因是( )
C
A.苹果质量小，对地球的引力小，而地球质量大，对苹果引力大
B.地球对苹果有引力，而苹果对地球无引力
C.苹果与地球间的引力是大小相等的，地球质量极大，不可能产生明显的加速度
D.以上说法都不对
[解析] 苹果与地球间的万有引力是相互作用力，大小相等，方向相反，但由于地球质量较大，加速度较小，故是苹果落向地球而不是地球向上运动碰到苹果，A、B、D错误，C正确.
9.[2024·中山期中] 太阳、月球对地球上某一区域海水引力呈周期性变化，引起潮汐现象.已知太阳质量为，太阳与地球间的距离为，月球质量为，月球与地球间的距离为.对同一片海水来说，设太阳对其引力为、月球对其引力为，则约为( )
B
A.2 B.200 C. D.
[解析] 设海水的质量为，则太阳对海水的引力，月球对海水的引力，则，故A、C、D错误，B正确.
10.[2024·罗定中学月考] 如图所示为“天问一号”探测器在火星表面附近竖直减速下降过程，已知火星的质量为、火星的半径为，“天问一号”探测器的质量为，引力常量为，则此过程中( )
D
A.“天问一号”所受合力方向竖直向下
B.火星对“天问一号”的引力为
C.未落到火星表面，火星对“天问一号”没有作用力
D.“天问一号”探测器中的设备处于超重状态
[解析] 探测器在火星表面附近竖直减速下降过程，加速度竖直向上，所受合力方向竖直向上，处于超重状态，故A错误，D正确；根据万有引力定律得火星对“天问一号”的引力为，故B错误；未落到火星表面时，火星对“天问一号”有吸引力，故C错误.
11.有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，引力常量为，求：
(1) 质点对球体的万有引力大小；
[答案]
[解析] 由万有引力定律可知球体与质点之间的万有引力.
(2) 现从球体中挖去半径为的球体(两球心和质点在同一直线上，且两球表面相切)，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小.
[答案]
[解析] 完整球体的质量
挖去的小球质量

被挖掉的小球与质点之间的万有引力

故剩余部分对质点的万有引力

12.[2024·深圳中学月考] 地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间.当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？
[答案]
[解析] 设月球的质量为，则地球的质量为，飞行器的质量为，飞行器距地心的距离为，飞行器距月心的距离为，由于地球对它的引力和月球对它的引力大小相等，根据万有引力定律得，解得.

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