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黄冈市 2025 年高三（9 月）起点考试数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A B B B A D ABD BCD ACD
二、填空题
2 2 10
12.1 13. 5 14.
3
附：部分小题解析：
8.A: f (0) f (1),A错; 当x 0时，x 1 1,[x] 0,B错;
1 1 1
C: e x e x 2 x x ,| cos x | 1 f (x) ,C错;e e 2 2
D: f (x) | 1 cos x 1 cos x |， f 2 (x) 2 2 | sin x |
f (x) [0, 2] [ f (x)]的值域为{0，1}.D对.
11. f (x) x ln x f (x)在(0,1)上单调递减，在（1, )上单调递增，A对
f (1 ) f (2) 2ln 2 3 0, B错；
2 2
f (x1) f (x2 ) m x ln x x ln x , x x
x1 x2 1 x x即 1 21 1 2 2 1 2 ln x1 ln x2 2
x1 x2 2,C对.
et t t a a ln t在t (1, )恒成立，则f (et ) f（t a ) ,当 a 0 t a时， e 1, t 1
et t a ,即a t 在t (1, )时恒成立，所以0 a e,D对.
ln t
3
14.解法一：依题意有 tanC , tan
C 1
. C由图可知，
4 2 3
1 1 tan
A
tan B
c 2 2
tan A tan B tan A . tan B
2 2 2 2
A D B
A B tan
A
tan B
tan( ) 2 2 tan( C 1而 2 2 1 tan A B
) 3
tan 2 tan C
2 2 2
tan A tan B 3(1 tan A tan B ) 2 tan A tan B tan A tan B 10 1即 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 3
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0 tan A tan B 11 2 10 .
2 2 9
1 1 tan
A
tan B A B（3 1 tan .tan ）
c 2 2 2 2 3 1 1 2 2 10 A B A B A B （ A B ） .tan tan tan tan tan .tan tan .tan 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1
解法二：由面积 r(a 1 b c) absinC,得 a b c 3 ab,由余弦定理有
2 2 5
2
cosC a b
2 c2 (a b c)(a b c) 2ab 4
, a b c 6.显然 a b 6.
2ab 2ab 5
3 2
a b 3 ab 3 3 (a b) , a b 20 2 10 20 2 10 解得 或a b （舍）
10 10 4 3 3
c a 2 2 10 10 10 b 6 .当 a b 时等号成立.
3 3
三、解答题
15.解：（1） f (x) e2x 2ax bcos x 1 ， f (x) 2e
2x 2a bsin x …………2 分
依题意知： f (0) 2 2 2a， a 2 …………4 分
又 f (0) 2 1 b 1 b 0 ， a 2,b 0 …………7 分
（2） a 2,b 0 ， f (x) 2e
2x 4 ………………8 分
g(x) 2e2x e x 4 2(e x 1 )2 33 .
4 8 ………………10 分
g(x) 33最小值为
8 ………………13 分

16.解：（1） f (x) 4sin( x )cos( x) 3 2sin xcos x 2 3 cos2 x 3
3
sin 2 x 3 cos 2 x 2sin(2 x ).
3 ………………4 分
而 f (x) 2 的最小正期为 ， T
2
1 …………6 分
（2） f (x) 2sin(2x )
3
g(x) 2sin(2x 2 ) 1 ……………………8 分
3
当 g(x) 0 sin(2x 2 1时，即 )
3 2 ……………………9 分
x [0,m], 2x 2 2 2 ，2m ……………………10 分3 3 3
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17 2m 2 25 ……………………13 分
6 3 6
m 13 7 的取值范围是 ， ……………………15 分 12 4
17.解：（1） f (x)是偶函数 f (x) f ( x)，即 log (4x2 1) mx log2 (4 x 1) mx，
m 1
……………………5 分
x
（2） m 1 f (x) log 2 (4x 1) x log (
4 1
2 x ) log
x
2 (2 2
x ).
2
g(x) 4 f (x) (2x 1 )2 x 1,1 2x 1
2x
又

,2
2 ……………………8 分
g(x) 4, 25
4 ……………………10 分
b(g(x))2 ag(x) a b 0 b g 2 (x) g(x) 1 b 0
a a ……………………13 分
b g(x) 1 t 1 21

a g（2 x） 1 t 2
2 (t g(x) 1)，t [3, ], 2t 2 t 2 4
t
t 2 21 b 21而 在 [3, ]上单调递增， 在[3, ]上单调递减，
t 4 a 4
b 3 b 3
， 的取值范围是[ , )
a 17 a 17 ……………………15 分
18.解：（1） p (c,2b a),q (cos A,cosC)且 | p q | | p q |
p q 0即ccos A (2b a)cosC 0
……………………2 分
sinC cos A 2sin B cosC sin AcosC 0 即 sinC 1
2
2
C .
3 ……………………5 分
（2） c2 a2 b2 ab 81而a b c 19 ……………………6 分
（a b）2 ab 81,a b 10 ab 19 ……………………7 分
∵CD为角 C的角平分线
S ACD S BCD S ACB即ab (a b）CD ……………………8 分
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19
CD
10 ……………………10 分
2
(3) 解法一:设 ACD ,则 BCD ;设 AD x，则CD x,BD 2x
3
CD AD
在 ACD中 即 sin A t sin
sin A sin ACD ………………11 分
BCD 2x tx sin B t sin( 在 中 即 ) sin( A)
sin( ) sin B 2 3 3
3
cos A t sin( )而 sin A t sin
6 ………………13 分
1 t 2 (sin 2 ( ) 1 sin 2 ) t 2
6
1 3 cos(2 )
2 6 ………………15 分
0 2

， cos(2 ) 1,
3
t 2 4 2 3,4 3 6 2
t [ 3 1,2)
……………………17 分
2 1 2 2 2
解法二：CD CA CB, 9CD 4CA CB 2CA CB,3 3 ………………11 分
AD c ,CD tc . t 2c2 4b2 a2 2ab,
3 3
t 2 sin 2 C sin 2 A 4sin 2 B 2sin Asin B. ……………………13 分
3 t 2 5 1 cos A 2cos( 2 2A) 2sin A( 3 cos A 1 sin A).
4 2 2 3 2 2
t 2 4 2 3 sin 2A. ………………………15 分
A (0, ), 2A 2 (0, ),sin 2A (0,1],
3 3
4 2 3 t 2 4, 3 1 t 2. ……………………17 分
a(1 x)
19.解：（1 ）已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f (x) e x
当 a 0 时， f (x) 在[1, )上单调递减，在（ ，1]上单调递增
当 a 0 时， f (x) 在[1, )上单调递增，在（ ，1]上单调递减
……………………4 分
（2） F (x)
ax a(1 x)
sin x
e x
F (x) cos x
e x
依题意知： F (0) 0,即 a=1,经检验，符合题意 F (x) sin x x . ………………5 分
e x
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(i)要证F (x) sin x x x 0,即证e
x sin x x 0成立 (x ( － ， ])
e ２
令G(x) e x sin x x,则G (x) e x (sin x cos x) 1,G (x) 2e x cos x

①当x [－ ， ]时，G (x) 0，G (x)在[ ,
]上单调递增，而G (0) 0
２２ 2 2
G(x) [ 在 ,0] 上单调递减，在[0, ]上单调递增 G(x) G(0) 0即x [ , ]时，e x sin x x 0
2 2 2 2
②当x

(－ ， ]时, e xsinx 1, x , e xsinx x 1 0
２ 2 2

综上所述： x (－ ， ]时, e
xsinx - x 0即F (x) 0
２ ……………………10 分
（ⅱ）令G(x) e x sin x x则 F (x) 0即G(x) 0
当 x [(2k 1) ,2k ],k Z,G(x) e x sin x x 0恒成立，此时G(x)无零点
当x [2k , (2k 1) ],k Z时，
①当k 0, x [0, ],

由(1)知G (x)在[0, ]上单调递增，在[ , ]上单调递减
2 2

而G (0) 0,G ( ) 0,存在x0 [0, ]使G (x0 ) 0

G(x)在[0, x 0 ]上单调递增，在[x0 , ]上单调递减，而G(0) 0,G( ) 0,G( ) 02

所以 x1 [ ， ]2
②当 x [2n , (2n 1) ],n Z，n 1时，由①同理可证：
x2n [2n ，(2n
1
) ), x 1
2 2n 1
[(2n ) , (2n 1) ]
2
3 1
由①②有 x2n 1 [(2n ) , (2n 1) ]，x2n [2n ，(2n ) ],2 2
xn是F (x)的零点
F (xn ) g(xn ) f (xn ) 0即f (xn ) g(xn )
f (x ) x (1, ) x n x 在 上单调递减， 2n xe 2n 1

2
f (x2n 1) f (x2n ) g(x2n 1) g(x2n )即sin x2n 1 sin x2n
sin x2n 1 sin[(4n 1) x2n 1] sin x2n
1 1
而 (4n 1) x2n 1 (2n , (2n ) ), x2n (2n , (2n ) )2 2
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(4n 1) x2n 1 x2n
x2n 1 x2n (4n 1)
……………………17 分
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