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湖北省荆州市2026届高三9月起点考试数学试卷
本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4.考试结束后，请将答题卡上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则“”是“”（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知正方形的边长为1，是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4 已知等比数列中，，，则（ ）
A. 16 B. 16或 C. 32 D. 32或
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100．则下列说法正确的有（ ）
A. 这组数据的众数是70 B. 这组数据的中位数是70
C. 这组数据的平均数小于70 D. 这组数据的平均数大于70
10. 已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是在定义域上的增函数 B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 的图象位于两条直线，之间
11. 圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆柱体的表面积为
B. 圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为
C. 圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为
D. 截面椭圆的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数，则______．
13. 双曲线的两条渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为______．
14. 在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
16. 在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数，．
（1）若，讨论函数在上的单调性；
（2）若，当时，恒成立，求的最大值．
18. 在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织，，，共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者（记为）进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者（记为）进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若获胜则比赛结束，获得冠军，获得第2名；若获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名．已知队战胜其他3支队伍的概率均为．且各场比赛互不影响．
（1）求队全胜夺冠概率；
（2）设队在整个赛事中参赛场次为随机变量，求的分布列及数学期望．
19. 已知焦点在轴上的椭圆，点，是椭圆上的两点，且位于轴上方，为轴上一点，为坐标原点．
（1）当点在轴上，，且的面积为时，求椭圆的离心率；
（2）若点在第一象限，，分别为椭圆上顶点和右顶点，直线，分别与轴和轴交于点，．记，的面积分别为、，若为定值2，求椭圆的标准方程；
（3）对于（2）所求椭圆，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1-8. DCABA ADB 9-11.AD ACD BCD
12.3
13.2
14.
15.
16.
【小问 1 详解】
17.
18.
19.

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