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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破一 折叠问题综合（五大题型39道）
题型一：折叠问题中求“一折”角度问题
1．(24-25八上·江苏宿迁泗洪县·期末)如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质；翻折变换；先根据平行线的性质得，，再根据折叠的性质得，则，所以
【详解】解：，
，，
长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
，
即，
．
故答案为：．
2．(24-25八上·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据角的和差可得，则可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∵在长方形纸片中，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．(25-26八上·吉林长春力旺实验初级中学·开学考)如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
【答案】/68度
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
4．(24-25七下·湖北武汉黄陂区双凤中学·期末)如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到．
【详解】解：
设，
∴，
由折叠的性质得到，
∴，
解得，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．(24-25七下·黑龙江绥化第十中学·期末)如图，点E在长方形纸片的边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，若，则 度．
【答案】110
【分析】本题考查了翻转变换，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
即的度数为，
故答案为：
6．(23-24七下·山东滨州博翱高级中学初中部·月考)如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握相关知识是解题的关键．根据，，可知，由折叠的性质可得，又，可得，由此即可求解．
【详解】解：，，
，
由折叠可知：，
又，
即，
，
．
故答案为：．
7．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．由折叠的性质及平角等于可求出的度数，由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质，可知：．
，，
，
，
．
，
．
故答案为：．
8．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图，点E是长方形中边上一点，连接，将沿翻折至处，若，若，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了平行线的性质和折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质是关键．设与相交于点，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，设与相交于点，
在长方形中，，
∴，
∵将沿翻折至处，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：
题型二：折叠问题中求“二折”角度问题
1．(24-25八上·浙江海宁王国维初级中学集团·期末)如图，有一长方形纸带，E，F分别是边，上一点，， 将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，α的值为
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，根据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知，
∴．
根据折叠得．
∴．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
2．(24-25八上·福建龙岩长汀县第四中学·月考)如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段上的点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，及三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，，，，又由平行的性质可知，进而可求出，由三角形内角和求出，由对顶角相等得出，进一步即可求出．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
故答案为：．
3．(24-25八上·广东深圳福田外国语学校·期末)如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵，
∴．
∴．
故答案是：．
4．(24-25八上·黑龙江大庆让胡路区大庆景园中学·期末)如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点落在点处，使得点落在点处，若，则的度数是 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了角的计算，折叠的性质，列代数式，掌握角的和差计算，折叠性质是解题的关键．
根据折叠性质可得：即，由平角定义可得：，结合，即可得出，进而得出的度数，再根据即可求解．
【详解】解：根据题意，由折叠性质可得：，
即，
∵，，
∴
∴
∴
∴
．
故答案为：．
5．如图，在长方形中，E为边的中点，沿折叠，使点A落在处，点D落在处．当时， ．
【答案】/32度
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题．根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
6．如图，将一张长方形纸片分别沿着、折叠，使边、均落在上，得到折痕、，则 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，得出角度之间的关系式是解决问题的前提．
根据折叠得到，，再根据这四个角的和为直角，进而得出等于直角的一半．
【详解】解：由折叠得，，，
，
，
故答案为：．
7．如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则 ．
【答案】60
【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质可知，，，再结合平角的概念求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
故答案为：60．
8．(24-25七下·浙江温州温州新星学校·月考)如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图2，点分别落在的位置，已知，分别计算
（提示：长方形四个内角都为直角）
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和等于180度，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
由折叠可得：，，从而得出．再根据，即可求得，进而求得；又由折叠可得：，，，则，即可得出．
【详解】解：由折叠可得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得：，，
∴
∴
故答案为：；．
9．(24-25八上·山东滕州北辛中学·期末)将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点B落在点处，点C落在点处，若，，则的度数为 ．
【答案】50
【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
，，
．
故答案为：50．
10．(24-25八上·湖北武汉经济技术开发区·期末)如图，在正方形中，点E、F分别是上的动点，沿折叠，点B、D折叠后的对应点分别为．若，则的度数为 （用含α的式子表示）．
【答案】或
【分析】本题考查折叠的性质，角的计算，列代数式，掌握折叠的性质，正方形的性质是解题的关键．根据翻折的性质可知，分图①，图②两种情形分别求解．
【详解】解：如图①中，∵四边形为正方形，
∴，
由翻折的性质可知：，
∴，
即，
解得，
∴，
如图②中，∵四边形为正方形，
∴，
由翻折的性质可知：，
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：或．
题型三：折叠问题中求“多折”角度问题
1．(24-25八上·贵州六盘水·期末)如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠的性质，根据折叠前后对应点到对称轴的距离相等，可得，，……，以此类推，找出规律，即可求解．
【详解】解：由折叠知，，，，……
以此类推，，
，
故选：A．
2．(24-25八上·辽宁抚顺·月考)如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点．
【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角．
理由如下：根据折叠的性质知，，，，
根据三角形的外角定理知，；
根据四边形的外角定理知，，
根据三角形的内角和定理知，，
；
当时，是的好角；
当时，是的好角；
当时，是的好角；
故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为，
最小角是是的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）．
由题意，得，所以．
因为、都是正整数，所以与是11的整数因子，
因此有：， ；
所以，；
所以， ；
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：；
故选：B．
3．(24-25八上·浙江义乌稠州中学·月考)小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）．
（1）若，则 ；
（2）若，则当时， ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，，求出，再由折叠的性质即可得解；
（2）由折叠的性质可得：，由平行线的性质可得，，求出，再由折叠的性质即可得出，再由平行线的性质计算即可得解．
【详解】解：（1）由折叠的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
再由折叠的性质可得，
故答案为：；
（2）由折叠的性质可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
再由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
4．(24-25七下·浙江温州瑞安6校联考·期中)如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，设为度，为度，则的度数为 度．(用含x，y的代数式表示)
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．过点作，则，根据折叠的性质以及平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
为度，
，
，，
，
，，
，为度，
，
故答案为：．
5．(24-25七下·安徽芜湖（部分学校）·期末)如图1，在长方形纸片中，线段交于点E、交于点F，设，
（1）将长方形纸片沿直线折叠成图2，若，则的度数为 ．
（2）再沿折痕折叠成图3，沿折痕折叠成图4，与重合，沿折痕折叠成图5，则的度数为 （用α表示）．
（说明：各图中阴影部分为纸片的背面，箭头所指为翻折方向）
【答案】 /130度
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
（1）根据折叠的性质和平行线的性质进行求解即可；
（2）根据图2由折叠可知：，根据图3由折叠可知：，图4中延长，，，根据折叠可知：，，由图5根据折叠可知：，根据平行线的性质和三角形外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：（1）根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，根据折叠可知：，
∵，
∴，，
∴，
如图3，根据折叠可知：，
∵为的外角，
∴，
如图4，延长，，，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，，
∴，
如图5，根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
6．(23-24七下·宁夏银川唐徕中学·期末)小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片的边上找到一点E，然后沿着进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处．
(1)此时（如图1）小明经过测量得到，请你帮他计算_________．
(2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2），使得A点落在G处，小明发现的大小会随着E点的位置改变而发生改变：
①若点A经过折叠后刚好落在线段上（如图3），求出此时的大小；（请写出推理过程）
②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量，请你计算出此时的大小．（请写出推理过程）
(3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片沿对角线折叠后（如图5），点D落在点F处，和交于点M，再将沿折叠后，点F落在点H处，此时将分成的两个角满足：，请你直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查折叠问题，解题关键是掌握折叠前后对应角相等．
（1）由折叠前后对应角相等得，进而即可求解；
（2）①由折叠前后对应角相等得，，进而即可求解；②；
（3）由折叠得，，，设，则，，进而可得，再根据即可求解．
【详解】（1）解：由折叠得，，
，
故答案为：；
（2）解：①由折叠得，，，
，
，
即；
② ，
，
，
；
（3）解：由折叠得，，，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
题型四：折叠问题中求线段长度问题
1．(24-25七下·陕西咸阳旬邑县·期末)如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是 ．
【答案】
【分析】根据折叠性质得出，，再结合的周长，推导出的周长．本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键．
【详解】解：∵ 将的沿折叠，使点和点重合，
∴ ，．
∵ 的周长为，即，，
∴ ．
∵ 的周长为，且，
∴ ．
故答案为：．
2．如图，在中，，点D在上，将沿翻折，点C恰好落在斜边上，，则点D到斜边的距离是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，翻折变换的性质，判断出并熟记角平分线的性质是解题的关键．过作于点，根据翻折可得，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过作于点，
沿翻折，点落在斜边上，
，
又，
，，
，
，
即点到斜边的距离是2．
故答案为：2．
3．如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识；由折叠可得，且的面积为，利用面积关系即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
由折叠知，，，
∴，
∴；
∵四边形的面积是6，
∴
∴；
∵，
∴；
故答案为：4．
4．(24-25七下·四川达州开江县·期末)如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的面积，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形的面积公式求出的长．
由折叠的性质得到，，，由平行线的性质推出，判定，由三角形的面积公式得到，求出，得到，因此的面积的面积，即可求出的面积．
【详解】解：由折叠的性质得到，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
，
的面积的面积，
由折叠的性质得到得到面积的面积，
的面积．
故答案为：．
5．(24-25八上·四川遂宁·期末)如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了折叠的性质．由折叠的性质得，根据计算即可求解
【详解】解：由折叠的性质得，
∵，
∴，
故答案为：2．
6．(24-25八上·吉林长春朝阳区·期末)如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm．
【答案】12
【分析】本题考查了翻折变换，根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：正方形的边长为，
∴，
∵将四边形沿直线折叠，使点A落在点处，
∴，，，
∴图中阴影部分的周长为：
，
故答案为：12．
7．(24-25八上·山西太原·期末)如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，过作于，
由对折可得：，，，
∴，
∴的面积为：，
∵，
∴的面积为．
故答案为：．
题型五：折叠问题中求最值问题
1．(24-25八上·陕西西安高新区第三初级中学·期中)如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案．
【详解】解：当时，最小，最大，
∵，，，，
∴，即，
∴，
根据折叠得：，
∴．
故答案为：．
2．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·期中)如图，在等腰中，，以直线为对称轴，点折叠后与点重合，连接，若周长为19，的周长为12，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了折叠的性质，由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式可得，则可推出，求出，即可得到．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵周长为19，的周长为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
3．(24-25八上·江苏苏州苏州新区·期末)如图，在中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折后得到，当的某一边与平行时，锐角的最大值为 ．
【答案】/65度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
当时，，
∴，
根据折叠可知：；
当时，，
∴，
根据折叠可知：，
∴；
当时，所在直线与所在直线重合，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
4．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道灯湖初级中学·月考)如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ．
【答案】18
【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：取的中点，连接，
∵四边形是长方形，是的中点，
∴四边形是长方形，
∴，
由折叠可知，，，
∵是的中点，是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为18，
故答案为：18．
5．(24-25八上·江苏淮安外国语学校·期末)如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形面积，折叠变换；过点B作于点H，证明是等腰直角三角形，的面积，再根据垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图，过点B作于点H．
∵的面积，
∴，
由翻折变换的性质可知，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，的面积，
当与重合时，的面积最小，
最小值．
故答案为：．
6．(24-25八上·山东济南章丘区·期末)如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ．
【答案】18
【分析】本题考查三角形中的翻折变换，根据将、分别沿、向外翻折至、，可得是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，根据，且，可得最小为6，即可得面积的最小值为．
【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高，
∵，且，
∴最小为，即的最小值为6，
∴面积的最小值为，
故答案为：18．
7．(24-25八上·四川乐山中区·期末)如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分，现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．
（1）当点落在边上时，若，则 ；
（2）当线段的值最小时，若，则 ．
【答案】 6
【分析】（1）根据点是边的中点，，得到，根据点落在边上时，解答即可．
（2）连接，根据，故当三点共线时，线段的值最小，根据折叠的性质，三角形内角和定理，角的平分线解答即可．
【详解】（1）解：根据点是边的中点，，得到，
故，
根据点落在边上时，得，
．
故答案为：6．
（2）解：连接，
∵，
故当三点共线时，线段的值最小，
∵平分，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质，中点性质是解题的关键．
8．(24-25八上·四川乐山夹江县·期末)在如图所示的纸片中，点是边的一定点，点是边上任意一点，现将沿折叠，得到，折痕与的角平分线相交于点，连接，当线段与的长度和最小时，，则此时 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．当、、三点共线时，与的长度和最小，设交于点，设，则，利用翻折及外角可得，再利用三角形的内角和定理即可得到结果．
【详解】解：当、、三点共线时，与的长度和最小，
设交于点，
平分，
，
设，
，
，
，
，，
故答案为：．
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破一 折叠问题综合（五大题型39道）
题型一：折叠问题中求“一折”角度问题
1．(24-25八上·江苏宿迁泗洪县·期末)如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线与相交于点，若，则 ．
2．(24-25八上·浙江台州黄岩区、路桥区·期末)如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为 ．
3．(25-26八上·吉林长春力旺实验初级中学·开学考)如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 ．
4．(24-25七下·湖北武汉黄陂区双凤中学·期末)如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ．
5．(24-25七下·黑龙江绥化第十中学·期末)如图，点E在长方形纸片的边上，将三角形沿翻折，点A落在点处，若，则 度．
6．(23-24七下·山东滨州博翱高级中学初中部·月考)如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为 °．
7．(24-25八上·安徽宿州泗县·期末)如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则 ．
8．(24-25七下·安徽合肥第三十中学·期末)如图，点E是长方形中边上一点，连接，将沿翻折至处，若，若，则 ．
题型二：折叠问题中求“二折”角度问题
1．(24-25八上·浙江海宁王国维初级中学集团·期末)如图，有一长方形纸带，E，F分别是边，上一点，， 将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为时，α的值为
2．(24-25八上·福建龙岩长汀县第四中学·月考)如图，小明将纸片换成一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段上的点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则的度数为 ．
3．(24-25八上·广东深圳福田外国语学校·期末)如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为 ．
4．(24-25八上·黑龙江大庆让胡路区大庆景园中学·期末)如图，点分别在长方形纸片的边上，连接，将纸片沿折叠，使得点落在点处，使得点落在点处，若，则的度数是 ．（用含的式子表示）
5．如图，在长方形中，E为边的中点，沿折叠，使点A落在处，点D落在处．当时， ．
6．如图，将一张长方形纸片分别沿着、折叠，使边、均落在上，得到折痕、，则 ．
7．如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则 ．
8．(24-25七下·浙江温州温州新星学校·月考)如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图2，点分别落在的位置，已知，分别计算
（提示：长方形四个内角都为直角）
9．(24-25八上·山东滕州北辛中学·期末)将一张长方形纸片按如图所示折叠，和为折痕，点B落在点处，点C落在点处，若，，则的度数为 ．
10．(24-25八上·湖北武汉经济技术开发区·期末)如图，在正方形中，点E、F分别是上的动点，沿折叠，点B、D折叠后的对应点分别为．若，则的度数为 （用含α的式子表示）．
题型三：折叠问题中求“多折”角度问题
1．(24-25八上·贵州六盘水·期末)如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2021次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25八上·辽宁抚顺·月考)如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25八上·浙江义乌稠州中学·月考)小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）．
（1）若，则 ；
（2）若，则当时， ．
4．(24-25七下·浙江温州瑞安6校联考·期中)如图，将一条长方形纸条折出一个“3”，设为度，为度，则的度数为 度．(用含x，y的代数式表示)
5．(24-25七下·安徽芜湖（部分学校）·期末)如图1，在长方形纸片中，线段交于点E、交于点F，设，
（1）将长方形纸片沿直线折叠成图2，若，则的度数为 ．
（2）再沿折痕折叠成图3，沿折痕折叠成图4，与重合，沿折痕折叠成图5，则的度数为 （用α表示）．
（说明：各图中阴影部分为纸片的背面，箭头所指为翻折方向）
6．(23-24七下·宁夏银川唐徕中学·期末)小明同学喜欢玩折纸游戏，他在学习完角的知识后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，首先他在长方形纸片的边上找到一点E，然后沿着进行第一次折叠（如图1），使得D点落在F处．
(1)此时（如图1）小明经过测量得到，请你帮他计算_________．
(2)第一次折叠后，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿着BE进行第二次折叠（如图2），使得A点落在G处，小明发现的大小会随着E点的位置改变而发生改变：
①若点A经过折叠后刚好落在线段上（如图3），求出此时的大小；（请写出推理过程）
②小明将E改变到如图4的位置的时候，经过测量，请你计算出此时的大小．（请写出推理过程）
(3)小明继续研究折纸游戏，他又发现有意思的折纸过程：他将长方形纸片沿对角线折叠后（如图5），点D落在点F处，和交于点M，再将沿折叠后，点F落在点H处，此时将分成的两个角满足：，请你直接写出的度数．
题型四：折叠问题中求线段长度问题
1．(24-25七下·陕西咸阳旬邑县·期末)如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是 ．
2．如图，在中，，点D在上，将沿翻折，点C恰好落在斜边上，，则点D到斜边的距离是 ．
3．如图，在四边形纸片中，，将分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点E，点C，D都落在边上的F处，若四边形的面积是6，，则 ．
4．(24-25七下·四川达州开江县·期末)如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为 ．
5．(24-25八上·四川遂宁·期末)如图，在中，，点分别在边上，将 沿折叠，使点落在处，则 的值为 ．
6．(24-25八上·吉林长春朝阳区·期末)如图，在正方形中，点，分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处．若正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 cm．
7．(24-25八上·山西太原·期末)如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为 ．
题型五：折叠问题中求最值问题
1．(24-25八上·陕西西安高新区第三初级中学·期中)如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为 ．
2．(24-25八上·四川成都锦江区师一学校·期中)如图，在等腰中，，以直线为对称轴，点折叠后与点重合，连接，若周长为19，的周长为12，则 ．
3．(24-25八上·江苏苏州苏州新区·期末)如图，在中，，，点在上，过点作交于点，将所截沿过点的某射线翻折后得到，当的某一边与平行时，锐角的最大值为 ．
4．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道灯湖初级中学·月考)如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ．
5．(24-25八上·江苏淮安外国语学校·期末)如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 ．
6．(24-25八上·山东济南章丘区·期末)如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为 ．
7．(24-25八上·四川乐山中区·期末)如图，在中，点是边的中点，点是边上任意一点，平分，现将沿折叠，得到，折痕与相交于点，连接．
（1）当点落在边上时，若，则 ；
（2）当线段的值最小时，若，则 ．
8．(24-25八上·四川乐山夹江县·期末)在如图所示的纸片中，点是边的一定点，点是边上任意一点，现将沿折叠，得到，折痕与的角平分线相交于点，连接，当线段与的长度和最小时，，则此时 ．
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