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2025-2026学年八年级数学上册第一次月考检测卷（13-14章）
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能
3．若三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
4．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
5．如图，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点在同一直线上，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　）
A． B． C． D．
8．如图，在 ABC中，，，的平分线交于点O， ABC的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与 ABC的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；... ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（ ）
甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求．
A．只有甲、乙正确B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 个．
12．在中，，，则 ， ， ．
13．如图，，若，，则等于 ．
14．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个．
15．如图，点A，F，B共线，E为上一点，，，相交于点O，且，，，则图中全等三角形有 对．
16．用两条直线把某三角形分割为4块，已知其中三块的面积如图所示为，请问标问号那部分的面积是 ．
17．如图，在 ABC和中，，，现添加一个条件证明， 下列符合要求的条件有 个（填个数）．
① ② ③ ④
18．如图， ABC中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有 （填序号）．
①； ②； ③； ④．
三、解答题（8小题，共64分）
19．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值．
20．若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来．
21．如图，，，，求证：．
22．如图，在 ABC中，，，点D是上的一点，连．设，当分别满足下列条件时，求k的值．
(1)为边上的中线．
(2)为的平分线．
23．尺规作图
(1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作 ABC，使．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：如图，四边形．
求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等．
24．已知 ABC中，平分，交于点E，平分，交于点D，与交于点O．
(1)如图1．求证：；
(2)如图2，连接，求证：平分；
25．如图，把 ABC沿折叠，点A落在四边形外部的点处．
(1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示）
(2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由．
26．如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明；
(2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与 BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题主要考查了全等图形的概念，正确理解全等图形的概念是解题的关键．根据全等图形的概念判断即可．
【详解】解：根据全等图形的概念可得：选项C的图形是全等形．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形的三个角之和是和三角形按角分类的方法”是解题的关键．由最小的角及三角形的三个角之和是，可求出最大的角小于，进而可得出这个三角形是一个锐角三角形．
【详解】解：最小的角是，，
最大的角小于，
这个三角形是一个锐角三角形．
故选：A．
3．B
【分析】由三角形的两边长分别为和，可得第三边x的长度范围为：，进而求得答案．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为和，
∴第三边x的长度范围为：，
∴第三边的长度可能是：．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键．
【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
5．C
【分析】此题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到再利用三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵
∴
∵
∴，
∴，
故选：C
6．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：进行判断即可．
【详解】解：选项A、添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项B、添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加不能判定，故本选项符合题意；
选项D、添加，可用进行判定，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分面积，推出，即可．
【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点，
∴分别为的中线，
∴，，，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案．
【详解】解：∵是的平分线，是 ABC的外角的平分线，
∴，故①正确；
，的平分线交于点，
，，
又∵，
，
，故②正确；
平分，
，
，，，
，
，
，故③正确；
如图，
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，故④正确；
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上正确的有：①②③④⑤．
故选：D．
9．C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：因为是的平分线，所以．
在与中，
，
所以，
所以题图（1）中有1对全等三角形．
同理，题图（2）中，，所以．
因为，所以．
又因为，所以，
所以题图（2）中有3对全等三角形．
同理，题图（3）中有6对全等三角形
……
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可得解．
【详解】解：甲：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线，
故甲的方案正确；
乙：∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线，
故乙的方案正确；
丙：∵，
∴，
∵，
∴，
不能证明，得不到是的平分线，
故丙的方案不正确．
综上所述，只有甲、乙正确，
故选：A．
二、填空题
11．3
【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去．
【详解】解：共有4种方案：
①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形；
②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形；
③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立；
④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形．
所以有3种方案符合要求．
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查三角形的内角和定理．
用表示，根据三角形的内角和定理，可得，从而可得和．
【详解】解：∵在中，，
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：，，．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的性质．直接根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14.4
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置．
【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处；
②三个外角两两平分线的交点，共三处，
∴中转站P可选择的点有共有4个．
故答案为：4．
15．3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
利用即可证明、、，即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
；
在和中，
，
；
在 AOB和中，
，
∴ AOB≌ COD（SAS）；
图中全等三角形有3对，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查的知识点是三角形面积与线段比例的关系．根据两条直线分割三角形形成四个小三角形时，等高三角形的面积比等于其底边之比，通过连接辅助线，设未知数、利用三角形面积的比例关系列出方程，求解分割后未知区域的面积．
【详解】解：如图，连，
设、的面积为和，
根据面积比例关系列方程：
则，即
化简得①，
又∵，
化简得②，
将①代入②得，
解得
∴，
∴．
故答案为：．
17．3
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．根据全等三角形的判定方法，利用、、即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴当时，由可得，故①符合题意；
当时，则，由可得，故②符合题意；
当时，则，由可得，故③符合题意；
当时，不能得出，故④不符合题意；
∴符合要求的条件有3个．
故答案为：3
18．①②
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角性质的应用，三角形的高与角平分线的含义，由三角形的内角和定理可判断①，②；利用三角形的角平分线与高的含义表示，结合，可得，进一步可判断③，由三角形的外角的性质可判断④.
【详解】解：∵，，
∴，
∵是高，即，
∴，即，故①符合题意；
∴，故②符合题意；
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③不符合题意；
∵，，
∴，
∵不一定相等，
∴，故④不符合题意；
故答案为：①②
三、解答题
19．解：由三角形的三边关系可知：，
即，
因此整数的最大值是9．
20．解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、
与、与、与、和共6对.
故答案为：6 ．
21．证明：，
，
，
在和中，
，
．
22．（1）∵为边上的中线,
，
，
，
，
（2）如图, 过点作于点, 于点,
∵为的平分线，
，
，,
，
，
，
，
23．（1）解：如图所示， ABC即为所求作的三角形；
（2）解：如图所示，点P就是所求作的点．
24．（1）证明：∵平分，平分，
∴设，∠，
∴
，
∴；
（2）证明：过O作于点F，作于点G，作于点H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∴平分．
25．（1）解：由折叠可知，，
∴，
．
（2）解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴．
26．（1）解：，理由如下：
当时，，
则，
，
，，
，
在和 BPQ中，
，
，
，
．
，
；
（2）当，或，时，与 BPQ全等，理由如下：
若 ACP≌ BPQ，
则，，
，
解得，，
则．
若，
则，，
则，
解得，，
则，
故当，或，时，与 BPQ全等．

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