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2025-2026学年八年级数学上册第一次月考检测卷（第13-14章）
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
2．（三角形的性质）在三角形中，三个内角是、、，若，那么这个三角形一定是（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
3．如图．等于（ ）
A． B． C． D．
4．下图中全等的三角形有（ ）
A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3
5．用一块含角的透明直角三角板画已知 ABC的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C．D．
6．如图，在 ABC的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
7．如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ）
A． B． C． D．
8．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示， ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
9．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形称为“灵动三角形”，例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上任取一点，过点作于点，交于点，以为端点作射线，交线段于点（其中）．
①的度数为；
② AOB是“灵动三角形”；
③若，则是“灵动三角形”；
④当 ABC为“灵动三角形”时，则满足条件的的值有4个．
以上结论正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在凸五边形ABCDE中，，，，，，则凸五边形ABCDE的面积等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．如图，图中共有 个三角形．
12．如图，，， ，三角形按角分是 三角形，按边分是 三角形．
13.在中，为边上的高，，，则是 度．
14．如图，平分，，则 ．
15．如图，，，，，，则的长为 ．
16．如图，是 ABC中的平分线，于点E，于点F，，，，则的长为 ．
17．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算实线所围成的图形面积是 ．
18．如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为 ．
三、解答题（8小题，共64分）
19．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，判断这个三角形的形状．
20．已知：如图我们把它称为“8字形”，试说明：．
21．如图，已知，，，求证：．
22．如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和．
23．如图， ABC中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示，．
(2)当与 CQP全等时，求v的值．
24．如图，在 ABC中，点E在上，．
(1)图1中，作的角平分线，分别交于D、F两点，求证：；
(2)图2中，作 ABC的外角的角平分线，分别交的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？
25．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在 ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在 ABC中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以 ABC的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
26．综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到 ADC≌ EDB，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】
（3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键．
由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案．
【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形．
共对．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了三角形的性质， 根据三角形内角和为180度得出，在结合，即可得出，则可得出答案．
【详解】解：因为，
所以
所以，
所以这个三角形是直角三角形，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长，交于点G，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意；
故选：D
5．B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案．
【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点，
观察四个选项可知，只有选项B符合.
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的三边关系，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得，再结合三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】解：由作法可知：，，
，
．
故选：A．
8．A
【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答．
【详解】解：如图：
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理；
根据新定义，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系，逐一计算判定即可．
【详解】解：∵，，即，
∴，故①正确；
∵，
∴ AOB是“灵动三角形”，故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴是“灵动三角形”，故③正确；
∵ ABC为“灵动三角形”，，
∴或或，
当时，
∴，
∴；
当时，
根据题意，得，
解得，
∴，
当时，，
∴，
综上，满足条件的的值有3个，故④错误，
故选：C．
10．C
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，然后根据直角三角形的面积和梯形的面积，可以计算出凸五边形ABCDE的面积．
【详解】解：作EG⊥AC于点G，作BF⊥AC于点F，作DH⊥AC于点H，
则∠EGA＝∠AFB＝∠BFC＝∠CHD＝90°，
∴∠EAG＋∠AEG＝90°，
∵AB⊥AE，BC⊥CD，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，
∴∠EAG＋∠FAB＝90°，
∴∠AEG＝∠BAF，
在△EAG和△ABF中，
，
∴△EAG≌△ABF（AAS），
∴AG＝BF，EG＝AF，
同理可证：△BFC≌△CHD，
∴BF＝CH，CF＝DH，
设AG＝x，EG＝y，CF＝z，则BF＝CH＝x，AF＝y，DH＝z，
∴S凸五边形ABCDE＝S△AEG＋S△AFB＋S△BFC＋S△CDH＋S梯形EGHD
＝
＝，
∵y＋z＝AF＋FC＝AC＝m，
∴＝12m2，
即凸五边形ABCDE的面积等于12m2，
故选：C．
二、填空题
11．116
【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可．
【详解】解：图中1个小三角形个数为：．
4个小三角形组成的三角形的个数为：，
9个小三角形组成的三角形的个数为：，
16个小三角形组成的三角形的个数为：，
所以图中三角形的个数为：，
故答案为：116．
12． 锐角 等边
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的分类，根据等边三角形的定义和三角形的分类解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①∵，，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∴，
②三角形按角分是锐角三角形，
③按边分是等边三角形，
故答案为：，锐角，等边．
13．或
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余．
根据题意按三角形的形状进行分类讨论，根据直角三角形的两个锐角互余，结合已知计算每种情况对应的的度数即可．
【详解】解：为边上的高，
∴，
∴，
当为锐角三角形时，；
当为钝角三角形时，．
∴或．
故答案为：或．

14．
【分析】本题考查了三角形的外角和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线使用三角形外角和定理是解决本题的关键．
先根据三角形外角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：延长交于，如图，
，，
，
，，，
，
平分，
，
．
故答案为：．
3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
证明，得到，即可求出的长．
【详解】在和中，
∴，
∴
∴
故答案为：3
16．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到，根据即可求出的长．
【详解】解：∵是 ABC中的平分线，于点E，于点F，
∴．
∵
∴，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，分割法求面积，证明进而得到，再利用梯形的面积减去三个三角形的面积进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
∴，，
∴实线所围成的图形面积是；
故答案为：
18．6
【详解】解：如图，延长交于N，延长交于M，
∵，
∴；
∵平分，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
同理可证明，有；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，，
∴
．
故答案为：6．
三、解答题
19．解：由题意，设三个内角分别为．
根据三角形内角和，可得：
，
解得：，
则三个角分别为，
∴这个三角形是等腰直角三角形．
20．解：在 AOB中，∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
23．（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动，
∴；
又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，
∴；
（2）解：当 BPD≌ CQP时，
即，，
由（1）知，；，
又∵，，
∴，
又∵点D为的中点，
∴，
∴，解得，
又∵，
∴，解得；
当时，
即，，
∴，解得，
∴，解得；
综上，v的值是2或3．
24．（1）解：∵平分，
∴，
∵，
又∵，
∴；
（2）解：探究（1）中结论仍成立；
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴．
25．（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在 ABC中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
26．解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：A；
（2）∵，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）延长，交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴.
∴，.
在和中，
，
∴.
∴，
∴，
∵，
∴．

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