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第16章《整式的乘法》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．等式成立的条件是（　　）
A． B． C． D．不受限制
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若等式（ ）成立，则括号内所填的代数式是（　　）
A． B． C． D．
4．已知等式（m，n为正整数），则k的值不可能是（ ）
A． B． C．5 D．6
5．若计算的结果中不含项，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：，那么空格中的一项是（ ）
A． B． C． D．
7．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（ ）
A．58 B．60 C．62 D．64
8．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 宽为的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7
9．已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　）
A． B． C． D．
10．将11个长为，宽为的小长方形（如图1）不重叠无空隙地摆放在大长方形中（如图2），当的长度变化时，若空余部分的面积与的差不改变，则之间的数量关系为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．若多项式是完全平方式，则 ．
13．已知n是正整数，且，则 ．
14．若（其中），则的大小关系为 ．
15．定义一种新的运算，如．则 ．
16．如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1)； (2)．
18．计算与化简：
(1)；
(2)先化简再求值：，其中，．
19．在化简的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式(第一步)
；(第二步)
解法二：原式(第一步)
(第二步)
．(第三步)
小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程．
20．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接．
(1)用含，的式子表示图中阴影部分的面积；
(2)若，，求阴影部分的面积．
21．观察下列一组等式：
；
；
．
(1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
①__________；
②（__________）；
③（__________）；
(2)利用你的发现计算：．
22．尝试解决下列有关幂的问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)若为正整数，且，求的值．
23．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
例题：求代数式的最小值．
解：．
，，的最小值是．
(1)求代数式的最小值．
(2)求代数式的最大值．
(3)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
24．探究：
（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________(用含a，b的等式表示)
应用：（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知，，则的值为___________．
②计算：．
拓展：（3）计算：．
25．题目：若，求的值．
解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． 因为，所以． 因为，所以， 所以．
我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．
【理解应用】
（1）若，则___________．
（2）若满足，求的值．
【拓展应用】
（3）如图，在三角形中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在三角形外部作正方形和正方形，连接．若，的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂的运算法则：计算即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算规则（同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除）以及完全平方公式，对每个选项进行计算，判断其正确性．
【详解】解：．故A项错误．
．故B项错误．
．故C项正确．
．故D项错误．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴括号内所填的代数式是；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式的运算法则，把等式左边变形为：，再根据，得出，，根据m，n均为正整数，列举所有的因数对，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵m，n为正整数，
∴，时，；
，时，；
，时，；
，时，；
∴k的值可能是5，，，1．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则．
【详解】解：
，
∵计算的结果中不含项，
∴，
解得：，
即常数的值为．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查单项式乘以多项式，多项式除以单项式，根据题意，用积除以，进行求解即可．
【详解】解：，
∴空格中的一项是；
故选C．
7．D
【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键．
根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可．
【详解】解：设两个连续奇数是和（其中取正整数），
，
由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数．
58、60、62都不是8的倍数，
它们不是“创新数”，
64是8的倍数，且，
64是“创新数”．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了多项式乘法的应用，熟练掌握多项式乘多项式是解题的关键．
先将大长方形的面积算出为，由题意可知为A类卡片面积，为B类卡片面积，为C类卡片面积，则根据多项式即能求出A、B、C相应的卡片数量．
【详解】解：由题意可知，大长方形的长为，宽为，
则其面积为；
由图可知，A类卡片面积为 ，B类卡片面积为，C类卡片面积为，由大长方形的面积多项式可知，的系数为2，的系数为4，的系数为9，则需要A类卡片2张，B类卡片4张， C类卡片9张．
故选：A.
9．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键．
根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可．
【详解】解：∵，
∴，无法确定z与y的关系；
∴的大小关系不可能是，
故选：B．
10．B
【分析】此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则．
用含、、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，让的系数为0即可．
【详解】解：∵ ，
整理，得：，
∵若长度不变，（即）的长度变化，而的值总保持不变，
∴ ，
解得：．
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算是解决本题的关键．
先由积的乘方运算求解，再根据同底数幂的乘法运算进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．184
【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出，再利用平方的非负性得出，即可得解．
【详解】解：由题可知，
，
，
，
，即．
15．
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，完全平方公式的应用，先利用多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，
∴，，
即，，
∴
故答案为∶
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：
；
（2）解：
，
当，时，
原式．
19．解：解法一错误，从第一步开始出错，末尾处应该是，或者加括号；
解法二错误，也是从第一步开始出错，混淆平方差公式和完全平方公式，的计算结果是．
正确的解答过程：原式．
20．（1）解：由题意可知：
∴图中阴影部分的面积；
（2）解：∵
，
∵，，
∴
，
∴阴影部分的面积．
21．（1）解：①；
②；
③．
故答案为：①；②；③；
（2）原式
．
22．（1）解：原式
即，则，
即．
（2）
．
（3）原式
．
23．（1）解：，
，
，
代数式的最小值是．
（2）解：，
，
，
代数式的最大值是．
（3）解：由题意，得花园的面积是，
，
，
代数式的最大值是，此时，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
24．解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式，
故答案为：；
（2）①∵，，
∴，
∴；
故答案为：4；
②
；
（3）
．
25．（1）解：设，，则，，
，
；
（2）设，，则
，
，
，
，
，
解得：，
；
（3），，，
，，
，
，
设，，
则，，
，
．

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