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第十五章《轴对称》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形中，若是等边三角形，则（ ）
A． B． C． D．
6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
8．如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且，，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点下列结论：；；； 其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示
12．如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
13．如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为
14．如图．在中，，，D是上一点，连接，，过点C作于点E，此时平分，则的长为 ．
15．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °．
16．如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，．
(1)请在图中作，使和关于轴对称，点、、的对应点分别为、、；并请写出、、的坐标；
(2)求的面积．
18．（6分）如图，在中，是的垂直平分线．
(1)若，的周长是13，求的周长
(2)若中，，求的度数．
19．（8分）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若C是的中点，，求的长．
20．（8分）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
21．（10分）如图，，平分，交于点；
(1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的基础上，求证：．
22．（10分）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求，的度数；
(3)探索，，之间的数量关系，并说明理由．
23．（12分）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得．
(1)求的度数；
(2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明；
(3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数．
24．（12分）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
(1)如图1，当点在边上，且时，之间的数量关系是 ；此时 ；
(2)如图2，点在边上，且当时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，当分别在边的延长线上时，若，则 （用、表示）．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．据此解答即可．
【详解】解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意；
D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，
根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴周长为．
故选：B．
3．B
【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵，为边上的高，
∴，，．
无法确定．
故A、C、D正确，B错误．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论．
【详解】解：设D到和的距离分别为和，
∵，
∴，
∴，
即点D到和的距离相等，
∴平分，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质可得到，的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C
6．C
【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键．
分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系．
【详解】解：当为底边时：
周长为，两腰之和为，则腰长为．
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
2． 当为腰长时，周长为，
底边长为，
验证：，满足三角形三边关系．
∴．
综上，优美比k为或．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的判定及性质，垂线定义．由直角三角形的性质得，由作图知平分，，进而证明，得，，从而得．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图知平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】根据题意由可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】分别以为圆心，以长为半径画圆，确定与轴交点的个数，此外作的垂直平分线，确定与轴交点的个数，即可求解．
【详解】解：分别以为圆心，以长为半径画圆，如下图：
此时与轴交点的个数为4，
作的垂直平分线，如上图：
此时与轴交点的个数为1，
故选：B
10．B
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
利用证明，可得，，再结合等边三角形的性质即可判断正确；
由，可得，即，即可判断正确；
作的平分线交于点，可证得是等边三角形，得出，利用证明 ，即可判断结论正确；
由，可得．由得．则．可得出．即可判断结论错误．
【详解】解：是等边三角形，
，．
．
在和中，
，
．
，．
，
．
，
．
，
；
故正确．
，
，即．
，
．
；
故正确．
如图，作的平分线交于点，
则．
，
．
．
即．
，
．
是等边三角形．
．
在和中，
．
．
．
；
故正确．
，
，，．
．
由得，．
．
．
．
．
．
．
．
故错误．
故正确的有，个，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出．
过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到．
【详解】解：过M作于H，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出．
由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和．
【详解】解：是边长为的等边三角形，
，
由折叠的性质得到：，
三个阴影部分的周长的和，
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关知识是解决此题的关键．由且平分，可推出，则可得，，由等角对等边可知，根据题目所给数据即可求得的长．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出．
【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点，
∵．，
∴，
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
三．解答题
17．（1）解：如图所示，即为所求；
；
∴、、；
（2）解：．
18．（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∴的周长；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵C为的中点，
∴．
20．（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴点P在的平分线上，
即平分，
由（1）得，
∴，
∴．
21．（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴点是的中点，即．
22．（1）证明：△与△都是等边三角形，
，，，
，
在△与△中，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
∴；
∴，
作，
∵，，
∴，
∴平分，
，
（3）解：，
证明：如图，在线段上截取，连接，
，
，
在△与△中，
，
，
，，
，
△是等边三角形，
，
，
．
23．（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，点即为所求；
∵，
∴，
连接，
∵将沿翻折得，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，如图，点与点重合，
∴；
当时，如图，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，
∵将沿翻折得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
当时，点A与P重合，
∴，
综上所述，的度数为或或或．
24．（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：，；
（2）（1）问的两个结论还成立；
证明：如图②，在的延长线上截取，连接，
，，
，
，
∴，
，
，
∵，
，
，
的周长为：，
；
（3）如图③，在上截取，连接，
同（2）可证，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∵等边的周长为，
，
的周长
，
∴，
故答案为：．

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