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二十四章《圆》单元测试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
3．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．4
6．如图，在平面直角坐标系中，，，．则△ABC的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，的周长为14，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
9．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B．
C． D．
10．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．
12．如图，是的切线，是切点．若，则 ．
13．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．
14．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是 度．
15．如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．
17．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于两点．求证：．
18．如图所示，是⊙的一条弦，，垂足为，交⊙于点，点在⊙上．
（）若，求的度数．
（）若，，求的长．
19．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
20．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
21．已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．
(1)如图1，若点D是的中点，等于多少？
(2)过点B作直线的垂线，垂足为点E．
①如图2，若点D在上，求证：．
②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．
22．如图，中，，AC和BC分别与相切于E，F两点，AB经过上的点M，且．
(1)求证：AB是的切线；
(2)若，求的半径．
23．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边，分别交于点，．设等边的面积为，通过证明可得，则．
(1)【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边，分别交于点，．若正方形的面积为，请用含的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积
(3)【猜想结论】如图4，为正边形……的中心角，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边与正边形的边，分别交于点，．若四边形面积为，请用含、的式子表示正边形……的面积．
参考答案
一、单选题
1．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
2．
【详解】解： 点在上，，
故选：
3．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
4．
【详解】解：连接CD，
∵AD是的直径，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
5．
【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，，
∴ AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵，
∴，
故选：B．
6．
【详解】解：∵B点坐标为（2，-1），C点坐标为（2， 3），
∴直线BC∥y轴，
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1，
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，
∴△ABC外心的纵坐标为1，
设△ABC的外心为P（a，1），
∴，
∴，
解得，
∴△ABC外心的坐标为（-2， 1），
故选D．
7．
【详解】解：与，，分别相切于点，，
，，，
的周长为14，
故选：．
8．
【详解】连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
9．
【详解】解：作OC⊥AB于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=（180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC中，OC=OA=9，
AC=，
∴AB=2AC=，
又∵=，
∴走便民路比走观赏路少走米，
故选D．
10．
【详解】过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选A．
二、填空题
11．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接．
为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
．
故答案为：35．
12．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案为130°．
13．
【详解】解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA -OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
14．
【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
15．
【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案为：．
三、解答题
16．解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
17．证明：如图所示，过点O作OP⊥AB，垂足为点P，
由垂径定理可得PA＝PB，PC＝PD，PA－PC＝PB－PD，
AC＝BD．
18．解：（1），
，
．
（2）∵，，且，
∴，
∵，
，
．
19．（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
20．（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴ODAC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：线段是的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝，
∴∠M＋∠DAM＝，∠ABM＋∠DAB＝，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
21．（1）如图1中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴．
（2）①过B作于点H，则．
又∵于点E，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
②连接并延长与交于点I，则点D在上．
如图：过B作于点H，
则，
又∵于点E，
∴，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点D运动到点I时取得最大值，此时．
22．（1）证明：连接OA，OE，OM．
AC切⊙O于点E，OE是⊙O的半径
∴OE⊥AC
∴∠AEO=90°
在△AMO和△AEO中
∴△AMO≌△AEO(SSS)
∴∠AMO=∠AEO=90°
∴OM⊥AB
∵OM是⊙O的半径
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：连接OF．设⊙O的半径为r．
∵BC与⊙O相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴∠OFC=90°，
又因为∠C=90°，∠OEC=90°，且OF=OE，
∴四边形OFCE是正方形，
∴CF=CE=OE=r，
∵AB、BC、AC都与⊙O相切，
∴BM=BF=6－r，AM=AE=8－r，
在Rt△ABC中，，
∵BM+AM=AB，
∴6－r+8－r=10 ，
∴ r=2
∴⊙O的半径为2．
23．（1）解：如图2，
∵为正方形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）如图3，
∵为正六边形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为．
（3）如图4，
∵为正多边形的中心角，
∴，，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正多边形的边分别交于点
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵四边形面积为，
∴正多边形的面积为．

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