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第三章《代数式》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（ ）
A．或 B． C． D．
3．式子，，7，，，中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．已知和是同类项，则下列各组中的单项式是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（ ）
A． B． C． D．
6．一个圆柱的高为，底面半径为2cm，如果它的高不变，底面半径增加，若取3，那么它的体积增加（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，且的值与x的取值无关．若，则A的值是（　　）
A．2 B．3 C．10 D．6
8．已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的代数式，现从容器中摸取小球，规定：若摸到白色球，就加上球上的式子；若摸到灰色球，就减去球上的式子．佳佳摸出全部小球后的计算结果是（ ）
A． B． C．2 D．
10．某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式： ．
12．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ；第次输出的结果是 ．
13．已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ．
14．已知多项式为整数，这两个多项式在数轴上表示的点分别为，若两点之间（不包含点）恰好有10个“整数点”（点表示的数为整数），则a的值为 ．
15．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为 ．
16．如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和．
（1）当，，时，的值为 ；
（2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同．
(1)求的值；
(2)当时，求该多项式的值．
18．（6分）数学课上，老师在黑板上书写了M，N两个整式：
；
．
(1)比较M，N的大小；
(2)若，证明：不可能小于0．
19．（8分）已知：代数式，小马虎同学在做整式加减运算时，误将“”看成“”了，计算结果是．
(1)请你帮小马虎算出正确的的化简结果（结果按的降幂排列）；
(2)若关于的代数式与的和是一个单项式，求的值．
20．（8分）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关．
【知识应用】已知，．
(1)用含m，n，x的式子表示；
(2)若的值和x的取值无关，求的值．
21．（10分）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．
(1)请用含的式子分别表示______，______；
(2)当时，分别求的值；
(3)比较与的大小，并说明理由．
22．（10分）综合与实践
学习了综合与实践《设计自己的运算程序》后，乐乐设计了一个探索两位数的“九九归一”运算程序：任意写一个两位数；计算该数十位数字与个位数字之和，用原数减去这个和，得到新数；若新数是两位数，重复上述过程，直到结果为个位数．
(1)若写下的是47，根据乐乐设计的运算程序，写出找到结果的详细过程．
(2)乐乐在运算过程中发现并验证了如下猜想：若一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，则该数的个位数与十位数之和总是等于 ．
(3)根据以上猜想，试结合代数式解释，任意选择一个两位数，该运算程序的结果总是同一个数．
23．（12分）【方法】
有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和(和为非零数)作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项．例如：，A经过处理器得到．
【应用】
若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
（1）填空：若，______，
（2）若，求关于x的不等式的解集．
【延伸】
（3）已知，M是关于x的二次多项式，若是M经过处理器得到的一次多项式，求k的值．
24．（12分）已知是关于字母x 的多项式（其中是各项的系数，c 是常数项）；我们规定的求导多项式是 ，且．如，则它的求导多项式为． 请根据上面的材料，完成下列问题：
(1)已知， 则它的求导多项式______
(2)已知，则它的求导多项式______；若，求x的值．
(3)已知关于x的二次多项式，并且它的求导多项式是，若关于x的方程有正整数解，求a的整数值．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、，不是单项式，故选项不符合题意；
B、，不是单项式，故选项不符合题意；
C、，不是单项式，故选项不符合题意；
D、，是单项式，故选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项．
【详解】解：∵多项式是三次三项式，
∴且，
∴且，
解得：．
∴该多项式的常数项为．
故选：B．
3．C
【分析】整式是指分母中不含字母的式子.包括单项式和多项式,单项式是单独的数字或单独的字母或数字与字母乘积的形式;多项式是几个单项式和的形式.
【详解】根据整式的定义可得: ,,7, ,属于整式, 不是整式,故选C．
4．B
【分析】本题主要考查了同类项的定义．所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项．掌握同类项的定义是解题的关键．
根据相同字母的指数相同列方程求出m和n的值，然后再根据同类项的定义逐项判定即可．
【详解】解：∵和是同类项，
∴，即，
∴A． 由，，则与不是同类项，不符合题意；
B． 由， ，则与是同类项，符合题意；
C． 由，，则与不是同类项，不符合题意；
D． ，，则与不是同类项，不符合题意．
故选B．
5．A
【分析】本题主要考查了寻找规律，观察单项式的符号、系数和指数的规律，得出第n个单项式的通式为，代入即可求解．
【详解】解：符号规律：单项式符号依次为正、负交替，第n项的符号为，
系数规律：系数绝对值为1, 3, 5, 7,…，即，结合符号得系数为，
指数规律：x的指数为项数n，即，
∴第n个单项式的通式为，
因此，第2025个单项式为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出正确的式子是解题的关键．
用半径增加后圆柱的体积减去原来的体积，再整理化简即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故选：C
7．D
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，利用整式加减的运算法则求出，根据的值与x的取值无关，求出的值，根据，求出的值，进而求出A的值即可．
【详解】解：
，
∵的值与x的取值无关，
∴，
解得，
∵，
∴，
即．
∴．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出．
【详解】解：因为，，
所以
，
因为的取值与无关，
所以，，
得：，；
；
因为是不含的多项式，
所以，
即，
因为，
即，
，
因为该式子恒成立，
所以，
即，
．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查整式加减运算的应用，将白色球上的式子相加，减去黑色求上的式子，即为所求．
【详解】解：由题意知，佳佳摸出全部小球后的计算结果是：
，
故选D．
10．D
【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
，
故选：D．
二．填空题
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
根据整式加减的运算，结合单项式的定义，即可得到结果．
【详解】解：，
，
，
运算结果为单项式，
写出的这个单项式为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果．
【详解】解：由题意可得，
第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
…，
由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现，
∵，
∴第次输出的结果是．
故答案为：；．
13．2或3
【分析】本题主要考查同类项的定义，合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
根据题意可得或，进而求出与的值；
【详解】解：∵三个单项式，，的和仍然是单项式，
∴或，
∴，，或，，
∴或，
即或3，
故答案为：2或3．
14．
【分析】本题考查多项式运算、数轴与整数点、绝对值与距离等知识点，正确建立方程求解是关键．
求得的长度，建立关于a的方程，再解方程即可．
【详解】解：∵，
又∵M、N两点之间（不包含点M，N）恰好有10个“整数点”，
∴M和N之间的距离应该是 11 个单位长度，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了整式的加减与化简求值；先用含有，的代数式表示和，再表示出即可．根据绝对值和完全平方的非负性求出和的值即可解决问题．
【详解】由题知，
；
；
所以．
因为，
所以，，
则，，
所以．
故答案为：．
16． 24
【分析】本题考查整式加减运算的实际应用．
（1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可；
（2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：（1）由图可知：，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）设，
则：
；
∵的值与的长度无关，
∴，
∴；
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：由题意，得，
解得；
∵单项式与该多项式的次数相同，
∴，
∴；
（2）解：当时，
原式．
18．（1）解：
．
；
（2）证明：
，
不可能小于0．
19．（1）解：由题意，得：
；
∴
．
（2）由题意，
，
∵代数式与的和是一个单项式，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，且的值和的取值无关，
∴，．
∴，．
∴．
21．（1）解： ，；
故答案为：，；
（2）解：当时，
；
；
（3）解：；
理由：，
，
，
，
．
22．（1），，，；
（2）∵一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴这个两位数可以为18，27，36，45，54，63，72，81，90
∵，，，，，，，，
∴该数的个位数与十位数之和总是等于9；
（3）设两位数为，且a，b为整数），
则它的十位数字与个位数字之和为，
第一次运算：，
方法一：设，且m、n为整数)，
，
是9的倍数，
，
，
依次减少9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法二：，
，
往后的每次运算都比上一次减少9，
是9的倍数．
若干次操作后，最后结果一定选9，
该运算程序的结果总是同一个数：9．
方法三：一个两位数是9的倍数，且这个数不超过98，
∴该数的个位数字与十位数字之和总是等于9．
∴第一次运算的结果9a为9的倍数，且．
往后作次运算的结果分别为：，
即运算结果依次减少9
该运算程序的结果总是同一个数：9．
23．解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
解得：
（3）∵是关于的二次多项式，
∴，即，
∵是经过处理器得到的一次多项式，，
∴，
∴，．
24．（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵
∴
∵
∴，
解得，；
故答案为：；；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，，
又关于x的方程有正整数解，即为正整数，且，
∴或，
∴或．

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