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山东省青岛市2025-2026学年高三上学期9月期初调研检测数学试题
2025.09
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若，则（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 3
2. 若复数，则（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 随机变量的分布列为，则（　　）
A. B. C. 2 D.
4. 为了得到函数图象，只要把函数的图象上所有的点（　　）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变
B. 横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变
C. 横坐标缩短到原来，向左平移个单位长度，纵坐标不变
D. 横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变
5. 设，且是成立的充分不必要条件，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6. 已知关于方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
7. 已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　）
A. B.
C. D.
8. 已知函数的定义域为，则（　　）
A. 230 B. 201 C. 157 D. 119
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（　　）
A.
B. 若为中点，则平面
C. 存在点使得平面平面
D. 存在点使得平面平面
10. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一、书中有如下问题：把100个面包分给5个人，每人分得面包数均为正整数且构成等差数列，则（　　）
A. 五人中必有一人分得20个面包
B. 五人中若有一人分得16个面包，则必有一人分得24个面包
C. 若分得面包较多的三份之和是较少两份之和的3倍，则最少的一人分得10个面包
D. 某人最多分得36个面包
11. 已知函数，则（　　）
A. 若，则为奇函数
B. 若，则恰有1个零点
C. 若，则方程在上有3038个解
D. 若，则为的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中项的系数是___________．
13. 在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时．
14. 已知函数，若使得对，都有，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 下表是某公司从2020年至2024年某种产品盈利额的近似值（单位：万元）
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4 5
盈利额 50 56 64 72 83
（1）求关于的相关系数的值（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系（如果，则认为与的线性相关关系较强，否则认为线性相关关系较弱）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测2025年该种产品的盈利额．
附：
①相关系数；
②经验回归方程中和的最小二乘估计公式为
③．
16. 已知双曲线的离心率为为上一点．
（1）求的方程；
（2）过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积.
17. 如图，四棱锥中，底面为矩形，为中点，为的交点，点在上，且．直线与平面所成的角分别为．
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若的最大值为4，所有零点之和小于16．
（i）求的值；
（ii）若非负实数满足，求的最大值．
19. 有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂1次，每次分裂生成1个细胞的概率为，生成2个细胞的概率为，生成3个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立，记分裂次后共有个细胞的概率为.
（1）求；
（2）求；
（3）已知：若和均为离散型随机变量，则．证明：．
参考答案
1-8.CABCB CBA 9-11.ABD ABC BCD
12.5
13.5
14.3
15.
16.
17.
18.
19.

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