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第十三章 　三角形
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列长度(单位： cm)的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．5，5，13 B．1，2，3
C．5，7，12 D．11，12，13
2．摄影师在拍摄时，常常将相机放在如图所示的“架子”上，这样做的道理是(　　)
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型(锐角、直角或钝角三角形)的是(　　)
　　　
A　　　　　　　B
　　　
C　 　　 　　D
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC.已知∠EDC＝40°，则∠AED的度数是(　　)
A．80° B．75°
C．70° D．60°
5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1＋∠2＝55°，则∠A的度数为(　　)
A．50° B．60° C．65° D．75°
6．将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使含30°角的三角尺的斜边与含45°角的三角尺的一条直角边平行，则∠α的度数为(　　)
A．100° B．105° C．110° D．120°
7．设α，β，γ是某三角形的三个内角，则下列关于α＋β，β＋γ，α＋γ的说法中，正确的是(　　)
A．有两个锐角、一个钝角
B．有两个钝角、一个锐角
C．至少有两个钝角
D．三个都可能是锐角
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点P，则∠P＝(　　)
A．90°－α B．α
C．90°＋α D．360°－α
9．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个外角的度数为(　　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．如图，在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形．当△ABC内的点的个数增加时，构成不重叠的小三角形的个数如表．
…
△ABC内点的个数 1 2 3 … 1 012
构成不重叠的
小三角形的个数 3 5 7 … ？
若其他条件不变，则表中的“？”应填(　　)
A．2 024　 B．2 025
C．2 026 D．2 027
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．一副三角尺有两个三角形，将其按如图的方式叠放在一起，则∠α的度数是 ．
　　　
第11题图　 　　第12题图
12．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上．若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 ．
13．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ．(填度数)
14．如果一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加，那么这个多边形的边数为 ．
15．如图，∠B＝∠C，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数为 ．
16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，….若∠A1＝α，则∠A2 024＝ ．(用含α的代数式表示)
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
18．(9分)如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形．如图就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
　　
　…
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形 的边数 3 4 5 6 … n
∠α的 度数 60° 45° …
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使得∠α＝20°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
19．(10分)(1)如图，点D，B，C在同一条直线上．若∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠1的度数；
(2)已知在△ABC中，∠B－∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A的度数．
20．(9分)如图，已知AE平分∠BAC，过AE的延长线上一点F 作FD⊥BC于点D.若∠F＝6°，∠C＝30°，求∠B的度数．
21．(11分)如图，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
(1)若DE＝2，求BC的长；
(2)若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
22．(11分)(1)如图(1)，将△ABC沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由；
　
(1) 　 (2)
第22题图
(2)如图(2)，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在四边形BCFE内部点A′，D′的位置，请写出∠A，∠D与∠1，∠2之间的数量关系．
第十三章 　三角形
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列长度(单位： cm)的三条线段能组成三角形的是(　D　)
A．5，5，13 B．1，2，3
C．5，7，12 D．11，12，13
2．摄影师在拍摄时，常常将相机放在如图所示的“架子”上，这样做的道理是(　D　)
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型(锐角、直角或钝角三角形)的是(　A　)
　　　
A　　　　　　　B
　　　
C　 　　 　　D
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，过点D作DE∥BC.已知∠EDC＝40°，则∠AED的度数是(　A　)
A．80° B．75°
C．70° D．60°
5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC＝120°，∠1＋∠2＝55°，则∠A的度数为(　C　)
A．50° B．60° C．65° D．75°
6．将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使含30°角的三角尺的斜边与含45°角的三角尺的一条直角边平行，则∠α的度数为(　B　)
A．100° B．105° C．110° D．120°
7．设α，β，γ是某三角形的三个内角，则下列关于α＋β，β＋γ，α＋γ的说法中，正确的是(　C　)
A．有两个锐角、一个钝角
B．有两个钝角、一个锐角
C．至少有两个钝角
D．三个都可能是锐角
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点P，则∠P＝(　B　)
A．90°－α B．α
C．90°＋α D．360°－α
9．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个外角的度数为(　B　)
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．如图，在△ABC中，有一点P1，当P1，A，B，C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形．当△ABC内的点的个数增加时，构成不重叠的小三角形的个数如表．
…
△ABC内点的个数 1 2 3 … 1 012
构成不重叠的
小三角形的个数 3 5 7 … ？
若其他条件不变，则表中的“？”应填(　B　)
A．2 024　 B．2 025
C．2 026 D．2 027
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．一副三角尺有两个三角形，将其按如图的方式叠放在一起，则∠α的度数是 165° ．
　　　
第11题图　 　　第12题图
12．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上．若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为 60° ．
13．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ 180° ．(填度数)
14．如果一个多边形的边数增加1，它的内角和就增加，那么这个多边形的边数为 12 ．
15．如图，∠B＝∠C，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，∠ADE＝140°，则∠FED的度数为 50° ．
16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线，….若∠A1＝α，则∠A2 024＝ ．(用含α的代数式表示)
三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．
解：设该多边形为n边形．
∵多边形一个外角等于一个内角的，
∴多边形的内角和为360°×4＝1 440°.
∴(n－2)×180°＝1 440°.
∴n－2＝8.
∴n＝10.
∴该多边形每一个内角的度数为(360°÷10)×4＝144°，该多边形为十边形，边数为10.
18．(9分)如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形．如图就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
　　
　…
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形 的边数 3 4 5 6 … n
∠α的 度数 60° 45° 36° 30° … °
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使得∠α＝20°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)存在．理由如下：
设存在正n边形使得∠α＝20°，
则∠α＝20°＝°，解得n＝9.
∴存在正九边形使得∠α＝20°.
19．(10分)(1)如图，点D，B，C在同一条直线上．若∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，求∠1的度数；
(2)已知在△ABC中，∠B－∠A＝70°，∠B＝2∠C，求∠A的度数．
解：(1)∵∠A＝60°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－60°－50°＝70°.
∵∠ABC＝∠1＋∠D，
∴∠1＝∠ABC－∠D＝70°－25°＝45°.
(2)在△ABC中，∠B－∠A＝70°，∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B－70°＝2∠C－70°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴2∠C－70°＋2∠C＋∠C＝180°，
解得∠C＝50°.
∴∠A＝2×50°－70°＝30°.
20．(9分)如图，已知AE平分∠BAC，过AE的延长线上一点F 作FD⊥BC于点D.若∠F＝6°，∠C＝30°，求∠B的度数．
解：∵FD⊥BC，∠F＝6°，
∴∠DEF＝90°－∠F＝90°－6°＝84°.
∴∠CAE＝∠DEF－∠C＝84°－30°＝54°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝2×54°＝108°.
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－108°－30°＝42°.
21．(11分)如图，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
(1)若DE＝2，求BC的长；
(2)若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
解：(1)∵AE是△ACD的中线，DE＝2，
∴CD＝2DE＝2×2＝4.
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD＝2×4＝8.
(2)∵△ABC的周长为35，
∴AB＋AC＋BC＝35.
∵BC＝11，
∴AB＋AC＝24.
∵△ABD与△ACD的周长差为3，
∴(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD)＝AB－AC＝3，
则
解得
∴AC的长为10.5.
22．(11分)(1)如图(1)，将△ABC沿DE折叠，使点A落在四边形DBCE内点A′的位置，探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由；
　
(1) 　 (2)
第22题图
(2)如图(2)，将四边形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在四边形BCFE内部点A′，D′的位置，请写出∠A，∠D与∠1，∠2之间的数量关系．
解：(1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵沿DE折叠后点A和点A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE.
∵∠AED＋∠ADE＝180°－∠A，
∠1＋∠2＝180°＋180°－2(∠AED＋∠ADE)，
∴∠1＋∠2＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A.
(2)如图，根据翻折的
性质，得
∠3＝(180°－∠1)，
∠4＝(180°－∠2)．
∵∠A＋∠D＋∠3＋∠4＝360°，
∴∠A＋∠D＋(180°－∠1)＋(180°－∠2)＝360°.
整理，得2(∠A＋∠D)＝∠1＋∠2＋360°.
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