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13.1三角形的概念
一．选择题
1．有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有(　　)
A．8对 B．16对
C．24对 D．32对
2．(2024·滨州检测)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　)
A．4 cm，5 cm，9 cm
B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm
D．6 cm，7 cm，14 cm
3．一个等腰三角形的两边长分别为20和10，则周长为(　　)
A．40 B．50
C．40或50 D．不能确定
4．下列关于三角形的高、角平分线、中线的说法，正确的是(　　)
A．每一条都是线段
B．角平分线是射线，其余是线段
C．高是直线，其余是线段
D．高是直线，角平分线是射线，中线是线段
5．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为(　　)
A．14 B．1 C．2 D．7
6．若等腰三角形的周长为17 cm，其中一边长为5 cm，则该等腰三角形的底边长为(　　)
A．7 cm B．5 cm或7 cm
C．6 cm或5 cm D．5 cm
7．(2024·临沂检测)如图，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，CD⊥AB于点D，则在△ABC中，AC边上的高是(　　)
A．BF B．CD
C．AE D．AF
8．下列图形中，具有稳定性的是(　　)
A．正方形 B．长方形
C．三角形 D．平行四边形
9．(2024·潍坊检测)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是(　 )
A．BF＝CF
B．∠BAE＝∠EAC
C．∠C＋∠CAD＝90°
D．S△BAE＝S△EAC
二．填空题
10．如图，工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常钉上两根斜拉的木条(即图中的AB，CD两根木条)，这样做的数学原理是 ．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4，则S△BEF＝ ．
12．在△ABC中，若∠C＝∠A＋∠B，则△ABC的形状是(　 　)
三．解答题
13．在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC的形状．
14．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边长．
15．若a，b，c分别为△ABC的三边，化简：
|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|.
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动，且速度为2 cm/s.设运动的时间为t s.
(1)当t＝ 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(2)当t＝ 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(3)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
13.1三角形的概念
一．选择题
1．有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有(　D　)
A．8对 B．16对
C．24对 D．32对
2．(2024·滨州检测)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　B　)
A．4 cm，5 cm，9 cm
B．8 cm，8 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，10 cm
D．6 cm，7 cm，14 cm
3．一个等腰三角形的两边长分别为20和10，则周长为(　B　)
A．40 B．50
C．40或50 D．不能确定
4．下列关于三角形的高、角平分线、中线的说法，正确的是(　A　)
A．每一条都是线段
B．角平分线是射线，其余是线段
C．高是直线，其余是线段
D．高是直线，角平分线是射线，中线是线段
5．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为(　C　)
A．14 B．1 C．2 D．7
6．若等腰三角形的周长为17 cm，其中一边长为5 cm，则该等腰三角形的底边长为(　B　)
A．7 cm B．5 cm或7 cm
C．6 cm或5 cm D．5 cm
7．(2024·临沂检测)如图，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，CD⊥AB于点D，则在△ABC中，AC边上的高是(　A　)
A．BF B．CD
C．AE D．AF
8．下列图形中，具有稳定性的是(　C　)
A．正方形 B．长方形
C．三角形 D．平行四边形
9．(2024·潍坊检测)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论错误的是(　D　)
A．BF＝CF
B．∠BAE＝∠EAC
C．∠C＋∠CAD＝90°
D．S△BAE＝S△EAC
解析：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A选项正确，不符合题意．
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠EAC，B选项正确，不符合题意．
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
∴∠C＋∠CAD＝90°，C选项正确，不符合题意．
∵BE≠EC，
∴S△ABE≠S△AEC，D选项错误，符合题意．
故选D.
二．填空题
10．如图，工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常钉上两根斜拉的木条(即图中的AB，CD两根木条)，这样做的数学原理是 三角形具有稳定性 ．
11．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4，则S△BEF＝ 1 ．
12．在△ABC中，若∠C＝∠A＋∠B，则△ABC的形状是(　直角三角形　)
三．解答题
13．在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)由题意，得5－2＜AC＜5＋2，
即3＜AC＜7.
∵AC为奇数，
∴AC＝5.
∴△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
(2)∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
14．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边长．
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则
2x＋2x＋x＝20，
解得x＝4.
∴2x＝8.
∴各边长分别为8 cm，8 cm，4 cm.
(2)①当5 cm为底边长时，腰长为7.5 cm，
7.5－5<7.5<7.5＋5，能构成三角形．
②当5 cm为腰长时，底边长为10 cm.
因为5＋5＝10，不能构成三角形，故舍去．
故能围成一边长为5 cm的等腰三角形，另外两边长分别为7.5 cm，7.5 cm.
15．若a，b，c分别为△ABC的三边，化简：
|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a＋b|.
解：由三角形三边关系，得a－b－c<0，
b－c－a<0，c－a＋b>0，
∴原式＝b＋c－a＋a＋c－b＋c－a＋b＝－a＋b＋3c.
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动，且速度为2 cm/s.设运动的时间为t s.
(1)当t＝ 6 时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(2)当t＝ 6.5 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(3)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
解：(1)在△ABC中，∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm，
∴△ABC的周长为8＋6＋10＝24(cm)．
当CP把△ABC分成周长相等的两部分时，
点P在AB上，此时CA＋AP＝BP＋BC＝12 cm，
∴2t＝12，解得t＝6.
故答案为6.
(2)当点P在AB的中点处时，CP把△ABC分成面积相等的两部分，此时CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，∴2t＝13，解得t＝6.5.
故答案为6.5.
(3)由题意可知分两种情况：
①当点P在AC上时，∵△BCP的面积为12 cm2，
∴BC·CP＝12.∴CP＝4 cm.
∴2t＝4，解得t＝2.
②当点P在AB上时，∵△BCP的面积为，是△ABC面积的一半，
∴P为AB的中点．
∴2t＝13，解得t＝6.5.
故当t为2或6.5时，△BCP的面积为12 cm2.
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