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13.3三角形的内角与外角
一．选择题
1．(2024·青岛检测)如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为(　　)
A．39° B．51°
C．38° D．52°
2．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
3．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，∠BDC＝120°，则∠A的度数为(　　)
A．40° B．50°
C．60° D．75°
4．(2024·聊城检测)如图，∠α的度数为(　　)
A．10° B．20°
C．30° D．40°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数为(　　)
A．125° B．135° C．145° D．155°
6．等腰三角形的一个内角是50°，它的一条腰上的高与另一条腰的夹角为(　　)
A．25°或10° B．40°或10°
C．25°或40° D．60°
7．(2024·滨州检测)如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是(　　)
A．∠BCD＞∠A
B．∠BCD＞∠1
C．∠2＞∠3
D．∠BCD＝∠A＋∠B
二．填空题
8．已知等腰三角形中顶角的度数是底角度数的3倍，那么底角的度数是 ．
9．(2024·菏泽检测)如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C的度数为 ．
10．等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角度数是 ．
11．(2024·枣庄检测)如图，B岛在A岛的南偏西55°方向，B岛在C岛的北偏西60°方向，C岛在A岛的南偏东30°方向，则从B岛看A，C两岛的视角∠ABC的度数为 ．
　
第14题图 第15题图
12．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数为 ．
三．解答题
13．在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，求△ABC各内角的度数．
14．(2024·安阳期中)如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠C＝48°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
15．如图，AB⊥DC，DE⊥AC，垂足分别为B，E.求证：∠A＝∠D．
16．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝69°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P.求∠CDP的度数．
17．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，请写出图中的两对“等角三角形”；
(2)如图(2)，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°.求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
(3)在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的“等角分割线”，若△ACD是等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数．
　
(2)
第18题图
13.3三角形的内角与外角
一．选择题
1．(2024·青岛检测)如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为(　B　)
A．39° B．51°
C．38° D．52°
2．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　A　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判定
3．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，∠BDC＝120°，则∠A的度数为(　C　)
A．40° B．50°
C．60° D．75°
4．(2024·聊城检测)如图，∠α的度数为(　A　)
A．10° B．20°
C．30° D．40°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝55°，D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数为(　C　)
A．125° B．135° C．145° D．155°
6．等腰三角形的一个内角是50°，它的一条腰上的高与另一条腰的夹角为(　B　)
A．25°或10° B．40°或10°
C．25°或40° D．60°
7．(2024·滨州检测)如图，∠BCD是△ABC的一个外角，E是边AB上一点，连接CE，下列结论不一定正确的是(　B　)
A．∠BCD＞∠A
B．∠BCD＞∠1
C．∠2＞∠3
D．∠BCD＝∠A＋∠B
二．填空题
8．已知等腰三角形中顶角的度数是底角度数的3倍，那么底角的度数是 36° ．
9．(2024·菏泽检测)如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，则∠C的度数为 51° ．
10．等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角度数是 70°或40° ．
11．(2024·枣庄检测)如图，B岛在A岛的南偏西55°方向，B岛在C岛的北偏西60°方向，C岛在A岛的南偏东30°方向，则从B岛看A，C两岛的视角∠ABC的度数为 65° ．
　
第14题图 第15题图
12．如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，使点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数为 80° ．
三．解答题
13．在△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，求△ABC各内角的度数．
解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋(∠A＋10°)＋(∠A＋10°＋10°)＝180°.
∴∠A＝50°.
∴∠B＝60°，∠C＝70°.
14．(2024·安阳期中)如图，在△ABC中，∠B＝64°，∠C＝48°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
解：在△ABC中，∠B＝64°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－64°－48°＝68°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝34°.
在Rt△ADC中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－48°＝42°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝42°－34°＝8°.
15．如图，AB⊥DC，DE⊥AC，垂足分别为B，E.求证：∠A＝∠D．
证明：∵AB⊥DC，DE⊥AC(已知)，
∴∠ABC＝∠DEC＝90°(垂直的定义)．
∴∠A＋∠C＝90°，∠D＋∠C＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．
∴∠A＝∠D(同角的余角相等)．
16．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝69°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P.求∠CDP的度数．
解：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.
∴∠BCD＝90°－∠B＝90°－69°＝21°.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－35°－69°＝76°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝38°.
∴∠DCP＝∠BCE－∠BCD＝38°－21°＝17°.
∵DP⊥CE，∴∠DPC＝90°.
∴∠CDP＝90°－∠DCP＝90°－17°＝73°．
17．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，请写出图中的两对“等角三角形”；
(2)如图(2)，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°.求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
(3)在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的“等角分割线”，若△ACD是等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数．
　
(2)
第18题图
(1)解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD．(答案不唯一)
(2)证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝80°.
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°.
∴∠ACD＝∠A.
∴CD＝DA.
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠B＝80°.
∴∠BDC＝∠ACB.
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的“等角分割线”．
(3)解：有三种情况：
①当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°＋42°＝84°.
②当DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°＋42°＝111°.
③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝42°，
∴∠BDC＝180°－42°＝138°＝∠ACB.
此时∠B＝180°－42°－138°＝0°(舍去)．
∴∠ACB的度数为84°或111°.
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