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浙教版八年级上册
第二章 特殊三角形 章末复习（2）
-----互余、互补、垂线-------定义、性质、识别
定义：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，
简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
1
2
1
2
∟
互余
如果∠1+∠2= ____°，
那么∠1和∠2互为余角.
其中∠1是∠2的余角、 ∠2是∠1的余角.
90
性质：
同角（或等角）的余角相等



∟
∟
∵ ∠3=90°-∠1
∠4=90°-∠2
∠1 =∠2
∴∠3 =∠4
C
D
E
∟
1
2
3
4
β
α
画法：
直角三角形的两个锐角互余．
识别：
A
B
c
┗
∴∠A+∠B=900
∵
∠C=900
如图，CD是Ｒt△ABC斜边上的高。
∠1=∠ B
∠2=∠A
同角的余角相等
∟
定义：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，
简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
如果∠α+∠β= ，那么∠α与∠β互为补角，
互补
1800
其中∠是∠的补角、 ∠是∠的补角.
性质：
同角（或等角）的补角相等



∵∠3=180°-∠1
∠4=180°-∠2
∠1 =∠2
∴∠3 =∠4
1
2
3
4
O
α
画法：
定义：∠1和∠2有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠2的两边的
反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
A
B
C
D
O
1
2
对顶角
性质：
对顶角相等.
∠1=∠2
判定：
直线AB与CD相交于O点，两对对顶角
∠1=∠3
∠2=∠4
1
2
A
B
C
O
定义：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为_________，
那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________。
反向延长线
∠2
互为邻补角
性质：
∠1+∠2=180°
如果 C、O、D三点共线
那么∠1和∠2互为邻补角。
判定：
A
C
D
O
2
1
定义：当两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是 ，
其他三个角也都为 ，此时，这两条直线 .
其中一条直线叫做另一条直线的 .交点叫做 .
直角
互相垂直
垂线
垂足
直角
b
a
O
a、b互相垂直，O叫垂足.
a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
垂足
垂线：
① a⊥b,
垂足为O.
② b⊥a,
垂足为O.
l
A
B
性质：
1.在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
A
B
P
0
C
D
E
F
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
从直线外一点到这条直线所画垂线段的长度叫做这点到直线的距离.
垂线段PO的长度:
点P到直线AB的距离.
∵∠AOC=90°
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°，那么 AB⊥CD.
A
B
C
D
O
判定：
(已知)
(垂直的定义)
∴AB⊥CD
画法：1.两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
A
B
C
D
画线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线
O
A
B
C
D
画射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线
2.两条射线互相垂直是指这两条射线所在的直线互相垂直.
O
∵∠3和∠4互为补角
∴∠3+∠4=180°
∵∠1和∠2互为余角
∴∠1+∠2=90°
90
∟
O
1
2
90
∟
90
∟
3
4
识别：
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
b
c
高是一条线段
顶点
顶点向对边所在直线引作垂线形成的垂足
｛
A
B
C
D
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
BC边上的高线: AD
AC边上的高线: BE
E
AB边上的高线: CF
F
H
三角形的高线.
直角边BC边上的高是 ;垂足是____
AB
直角边AB边上的高是 ;垂足是____
CB
A
B
C
斜边AC边上的高是 ;垂足是___
BD
B
B
直角三角形有三条角高线，且相交于直角顶点。
D
H
H
D
锐角三角形有三条角高线，且相交于三角形内部。
钝角三角形有三条高线，相交于三角形外部。
性质：
识别：
1
2
3
4
D
A
B
C
1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，说明：AC=AD
解：∵∠ =180 －∠3
∠ =180 －∠4
　　　而∠3=∠4（已知）
　　　∴∠ABD=∠ABC
　　　在△ 和△ 中
（ ）
　　　 （公共边）
（ ）
　　　∴△ ≌ △ （ ）
∴ （全等三角形对应边相等）
ABD
ABC
ABC
∠1=∠2
AB=AB
∠ABD=∠ABC
ASA
AC=AD
ABD
已知
已证
ABC
ABD
夯实基础，稳扎稳打
2.已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.
求证：AD=CD.
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A=90° ∠B，∠ACD=90° - ∠BCD
∵BD=CD，∠B=∠BCD，
∴∠A=∠ACD(等角的余角相等）,
∴AD=CD.
B
A
C
D
3．已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，
求证： △ADF是等腰三角形．
倒推法：
△ADF是等腰三角形．
AF=DF
∠1=∠2
∠1=900－∠C
∠2=∠3=900－∠B
∠B=∠C
AB=AC
2
⌒
A
C
B
E
F
D
∟
1
⌒
⌒
3
连续递推，豁然开朗
4.已知：如图，在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AC上一点，且BF=AC,DF=DC.求证：BE⊥AC.
证明：
∵AD⊥BC
∴∠BDF=∠ADC=900
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC （ ）
HL
BF=AC,
DF=DC
A
B
C
D
E
F
┓
⌒
⌒
⌒
⌒
1
2
3
4
∴∠1=∠2
∵∠3=∠4
∵∠1+∠3=900
∴∠2+∠4=900
∴BE⊥AC
5.如图，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，
求证：BD=CE
法1
∵AB=AC , AD=AE
∴∠B=∠C , ∠ADE=∠AED
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(AAS)
∴BE=CD
∴BE-DE=CD-DE
即BD=CE
。
如图，点D，E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE
H
过A作AH ⊥ BC于H
∵ AB=AC , AD=AE
∴ BH=CH , DH=EH
∴BH-DH=CH-EH
即BD=CE
法2
等量减等量，其差相等；等量加等量，其和相等。
谢谢
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