资源简介

高二数学第一次月考试题（使用时间9月21日）
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量，，若，则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
2.已知空间向量，若共面，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知空知向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则( )
A. B.
C. D.
6.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则
B. 若直线的方向向量，平面的一个法向量，则
C. 已知，，若与垂直，则实数
D. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
10.空间直角坐标系中，已知，，，，则( )
A.
B. 是直角三角形
C. 与平行的单位向量的坐标为
D. 可以作为空间的一组基底
11.如图，正方体的棱长为，是的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与平面所成的角为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是
13.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则 ．
14.如图，棱长为的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，向量．
若，求实数的值；
求向量在向量方向上的投影向量．
16.本小题分
如图，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用表示向量；
若，，，求的长．
17.本小题分
如图，在矩形中，，沿将折起，点到达点的位置，使点在平面的射影落在边上
证明：；
求点到平面的距离；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在四棱柱中，四边形是一个边长为的菱形，，侧棱平面，．
求二面角的余弦值．
设是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
19.本小题7分
如图，边长为的菱形中，，，分别为，的中点，沿将折起，使得平面平面．
证明：平面平面；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角最大？若存在，求的长度，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：因为，，，由题意知，所以
解得．故选C．
2.【答案】
解：因为不共线，共面，所以存在一对有序实数，使，所以，
所以，解得故选：．
3.【答案】 解：由题可得．又动点在所在平面内运动，所以，解得．故选B．
4.【答案】 解：向量，，
，，
向量在向量上的投影向量为，
5.【答案】 解：，
6.【答案】 解：依题意得，，
则点到直线的距离为．
7.【答案】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，
，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
8.【答案】
解：为的重心，
则，
．．
，，，四点共面，，即．
，当且仅当时，等号成立，的最小值为．
9.【答案】
解：，，
和共线，，故A正确；
对于，若，则，
存在实数，使得，无解，故B项错误；
对于由题意可得的，，
若与垂直，
则，解得，故C项正确
对于，若，
则，
所以，所以，，，四点共面，故D项正确．
故选ACD．
10.【答案】
解：因为 ，
所以 ，所以 ，选项A正确；
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 是直角三角形，选项B正确；
因为 ，所以与 平行的单位向量的坐标为： ，选项C错误；
假设 ， ， 共面，则存在唯一的有序数对 使 ，
即 ，
所以 ，此方程组无解，故 ， ， 不共面，
故可作为空间一组基底，选项D正确．
11.【答案】
解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
所以，，，．
对于，设平面的法向量为，则
即取，
则，即，
又直线平面，
所以直线平面，故A正确
对于，因为，
所以，所以，故B正确
对于，
，故C错误
对于，由题意易知，为平面的一个法向量，，
设直线与平面所成的角为，
所以，所以，故D错误．
12.【答案】
解：因为向量，，且、夹角为锐角，
所以且与不同向，
当时，则，解得，
当与同向时，则，即，解得
则与不同向时，，综上可得或，即的取值范围是．
故答案为：
13.【答案】
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即有，
故解得．
14.【答案】
【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，
则，
则，
故，
因为，所以，解得．
故答案为：．
15.【答案】解：由题意，，，因为，
所以，即，得．
由题意，，，
所以向量在向量上上的投影向量为：．
16.【答案】解：，，，，
；
，，，即的长为．
17.【答案】解：证明：由点在平面的射影落在边上可得平面，
又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，所以．
过点作，垂足为，
由已知得，
又，且平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，
所以平面，即为点到平面的距离，
在直角三角形中，，所以，
故点到平面的距离为．
在直角三角形中可得，，以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
，因为，
所以，从而，
易知，
设平面的一个法向量为，
所以，取，解得，
又直线的一个方向向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.【答案】解：由题意，是正三角形，设是的中点，连接，则，
所以．
由平面，得，，即，，两两垂直．
如图，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，，，．
显然，平面的一个法向量是．
设平面的法向量为，
则
令，得．
设二面角的平面角为由图可知为锐角，
则．
故二面角的余弦值为．
设．
因为，，
所以，又，，
所以，．
设平面的法向量为，
则
令，得
因为，，
所以
因为平面，所以，
即
，解得，
所以线段上存在点，使得平面，此时．
19.【答案】证明：在菱形中，，
则为等边三角形，
因为点为的中点，
所以，又，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
解：因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
可知，，，两两垂直，
所以，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
所以，
设，
所以，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
又，
则，
因为，所以时，取得最小值，此时取得最大值，
又因为在上单调递增，所以时，取得最大值，
此时，即的长度为．

展开更多......

收起↑