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2025秋学期初二培优精练（第3周）
一．选择题（共7小题）
1.有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
2.如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
3.（2024秋 新吴区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．3 D．3.5
4.（2024秋 吴中区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝1，则BC的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
第2题 第3题 第4题
5.（2024秋 苏州月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（　　）
A．120° B．108° C．72° D．36°
6.（2024秋 无锡期中）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF的值是（　　）
A． B． C． D．
7.（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①BE＝EFCF；②点O到△ABC各边的距离相等；③AD（AB+ACBC）；④设OD＝2m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第5题 第6题 第7题
二．填空题（共7小题）
8.（2024秋 锡山区校级月考）若△ABC为等边三角形，且AP＝BQ，则∠PMC的度数为　　 ．
9.（2024秋 吴中区校级月考）如图，已知△ABC的周长是16．MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB．过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4．则△ABC的面积是　 　 ．
10.（2024秋 苏州月考）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△PAB的面积为6cm2，△PAC的面积为2cm2，则△PBC的面积为　 　 cm2．
第8题 第9题 第10题
11.（2024秋 江阴市期中）如图，四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝8，则△BCD的面积为　 　 ．
12.（2024秋 无锡期中）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝　 　 ．
13.如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥BC交BC于F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为　 　 ．
第11题 第12题 第13题
14.（2024秋 相城区校级月考）在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点D是边AC上的动点，以BD为边，向下作如图所示等边△DBE，连接CE，则CE长的最小值为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
15.（2024秋 惠山区校级期中）如图，已知∠EAD及AE边上一点C．
（1）尺规作图：在AD上求作点M，使得∠CMD＝2∠A；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）尺规作图：在CE上求作点N，使点N到点C的距离与点N到AD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
16.如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：BF＝2CE．
17.（2024秋 苏州月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．
18.（2024秋 苏州月考）如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由．
19.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为BC边上的高线，点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．
（1）求证：△AFD≌△BED；
（2）判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）写出四边形AEDF的面积与△ABC的面积的数量关系.
20.（2024秋 梁溪区校级期中）如图，在四边形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD为锐角；
（1）在图1中，△ACE与△BCD面积相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若AC＝4，CD＝5．则四边形ABDC面积最大值为 　 　 ．
（3）如图3，已知BD＝6，△ACE的面积为10，G在BD边上，GC的延长线经过AE中点F，求CG的长．
21.（2024秋 新吴区期中）等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝CD．当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，探究BM、CN、MN之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、CN、MN之间的数量关系式为 　 　；此时的值是　 ；
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝x，试用含x、L的代数式表示Q．
∴∠ADE＝∠DAE，
∴AE＝CE，
∴AE＝DE＝3，
故选：C．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝1，则BC的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣120°）30°，
∵AD⊥AC交AC于点A，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴BD＝AD＝1，
在Rt△BAD中，∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2×1＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1＝3．
故选：D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝54°，AD是斜边BC上的中线，将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，则∠AED的度数为（　　）
A．120° B．108° C．72° D．36°
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝54，
∴∠ABD＝90°﹣54°＝36°，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠DAB＝∠ABD＝36°，
∵将△ABD沿AD翻折，使点B落在点F处，线段AF与BC相交于点E，
∴∠EAD＝∠DAB＝36°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB
＝36°+36
＝72°，
∴∠AED＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
故选：C．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF的值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝60°＝∠BDC，∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
在△AHC和△CFE中，
，
∴△AHC≌△CFE（AAS），
∴CF＝AH，
∵∠BDC＝60°，EF⊥CD，CH⊥AB，
∴∠DGF＝∠DCH＝30°，
∴DHCD14＝7，DG＝2DF，
∵5DG＝3AD，
∴ADDF，
∵AH＝CF，
∵S△AEF＝S△AEO+S△AFO，且S△AEOAE OL，S△AFOAF OD，OL＝OD，
∴S△AEFAE ODAF ODOD（AE+AF），
∵OD＝2m，AE+AF＝n，
∴S△AEF2mn＝mn，
故④正确，
故选：D．
二．填空题（共7小题）
8．若△ABC为等边三角形，且AP＝BQ，则∠PMC的度数＝ 　60°　 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠ABP＝∠BCQ，
∴∠PMC＝∠BCQ+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝∠ABC＝60°，
故答案为：60°．
9．如图，已知△ABC的周长是16．MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB．过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4．则△ABC的面积是　32　 ．
【解答】解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MD⊥BC，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△ABM+S△BCM+S△ACM
＝2AB+2BC+2AC
＝2（AB+BC+AC）
＝2×16
＝32，
故答案为：32．
10．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，若△PAB的面积为6cm2，△PAC的面积为2cm2，则△PBC的面积为 　8　 cm2．
【解答】解：延长AP交BC于D，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠BPA＝∠BPD＝90°，
在△ABP和△DBP中，
，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP＝PD，
∴△PBD的面积＝△PAB的面积，△PCD的面积＝△APC的面积，
∴△PBC的面积＝△PAB的面积+△APC的面积＝6+2＝8（cm2）．
故答案为：8．
11．如图，四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝8，则△BCD的面积为 　32　 ．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H．
【解答】解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA＝EB，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ACE+∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG＝EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，
，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），
∴CF＝CG，
同理可得：BF＝AG，
∴12﹣CF＝8+CF，
解得：CF＝2，
∴BF＝12﹣2＝10，
故答案为：10．
14．在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点D是边AC上的动点，以BD为边，向下作如图所示等边△DBE，连接CE，则CE长的最小值为 　2　 ．
【解答】解：设AB的中点为点F，连接DF，CE，如图，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝BF＝AFAB，
∵△DBE为等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°＝∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBD，
∴△BCE≌△BFD（SAS），
∴CE＝FD，
当FD⊥AC时，FD取最小值为DF，
∴CE长的最小值为2，
故答案为：2．
三．解答题
15．如图，已知∠EAD及AE边上一点C．
（1）尺规作图：在AD上求作点M，使得∠CMD＝2∠A；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）尺规作图：在CE上求作点N，使点N到点C的距离与点N到AD的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）如图，作线段AC的垂直平分线，与AD交于M，则M点即为所求；
理由：由作图可得：FG是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∴∠A＝∠MCA，
∴∠CMD＝∠A+∠MCA＝2∠A．
（2）如图，N即为所求，
理由：由作图可得：∠FCN＝90°，∠CFN＝∠KFN，FC＝FK，
∵FN＝FN，
∴△FCN≌△FKN，
∴NC＝NK，∠NKF＝∠NCF＝90°，
∴N即为所求．
16．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）求证：BF＝2CE．
【解答】证明：（1）∵DH垂直平分BC，且∠ABC＝45°，
∴BD＝DC，且∠BDC＝90°，
∵∠A+∠ABF＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ABF＝∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF＝AC．
（2）由（1）得BF＝AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴．
∴BF＝2CE．
17．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．
（1）求证：BM＝MD．
（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC，
∵M是AC的中点，
∴，，
∴BM＝MD；
（2）∵BM＝AM，DM＝AM，
∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM，
∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，
∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC，
∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BMD＝2∠BAD＝60°，
∵BM＝MD，
∴△MBD是等边三角形．
18．已知：如图，锐角△ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、BC的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连接DN、EN，猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图，连接DN，EN，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，N是BC的中点，
∴DNBC，ENBC，
∴DN＝EN，
又∵M为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∠DNE＝180°﹣2∠A，理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DN＝EN＝BN＝NC，
∴∠BND+∠CNE＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DNE＝180°﹣2∠A．
19．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为BC边上的高线，点E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．
（1）求证：△AFD≌△BED；
（2）判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）直接写出四边形AEDF的面积与△ABC的面积的数量关系 　S四边形AEDFS△ABC　 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝45°，∠B＝∠C＝45°，
∴AD＝BD＝CD，∠B＝∠CAF，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（SAS）；
（2）解：结论：△DEF是等腰直角三角形．
理由：∵△ADF≌△BDE，
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，
∴∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（3）解：结论：S四边形AEDFS△ABC．
理由：∵△ADF≌△BDE，
∴S△ADF＝S△BDE，
∴S四边形AEDF＝S△ADB，
∵BD＝CD，
∴S△ADB＝S△ADCS△ABC，
∴S四边形AEDFS△ABC．
故答案为：S四边形AEDFS△ABC．
20．如图，在四边形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD为锐角；
（1）在图1中，△ACE与△BCD面积相等吗？请说明理由．
（2）如图2，若AC＝4，CD＝5．则四边形ABDC面积最大值为 　18　 ．
（3）如图3，已知BD＝6，△ACE的面积为10，G在BD边上，GC的延长线经过AE中点F，求CG的长．
【解答】解：（1）△ACE与△BCD面积相等，理由如下：
如图，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于G，过点D作DF⊥BC于F，
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝180°，
∵∠ACE+∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCD，
在△EGC和△DFC中，
，
∴△EGC≌△DFC（AAS），
∴EG＝DF，
∵AC＝BC，
∴，
即△ACE与△BCD面积相等．
（2）由题意得：AC＝4，CD＝5，
∴，
即△ABC的面积为定值，
∴当△BCD的面积最大时，四边形ABDC面积最大，
如图，过点D作DM⊥BC于M，
∴DM≤CD，
当点M与点C重合时，DM最大，此时DC⊥BC，
此时，
∴四边形ABDC面积最大值为：8+10＝18．
故答案为：18．
（3）如图，过点E作EN∥AC交CF的延长线于点N，
则∠CAF＝∠NEF，∠ACF＝∠N；
∵点F是中点，
∴EF＝AF，
在△EFN和△AFC中，
，
∴△EFN≌△AFC（AAS），
∴EN＝AC，
∵AC＝BC，
∴EN＝BC，
∵∠N+∠ECF＝180°﹣∠NEC，
∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝180°﹣∠BCD，
∴∠NEC＝∠BCD，
在△CEN和△DCB中，
，
∴△CEN≌△DCB（SAS），
∴∠NCE＝∠BDC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠NCE+∠DCG＝90°，
∴∠BDC+∠DCG＝90°，
∴CG⊥BD，
∵△ACE与△BCD面积相等，
∴，
∴，
∵CM1＝BM，∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴；
（3）Q；理由如下：
如图③，在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
同（2）可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
又∵ND＝ND，DM＝DM1，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，
∵NC﹣CM1＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．
∵等边△ABC的周长为L，
∴，
△AMN的周长Q＝MN+AN+AM
＝NC﹣BM+AN+AB+BM＝AN+AC+AN+AB＝2AN+2AB．
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