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2025秋学期初一培优精练（第3周）
一．选择题（共7小题）
1.（2024秋 宜兴市月考）下列说法：
①符号相反的数互为相反数； ②a一定是一个负数；
③正整数、负整数统称为整数；
④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.若m是有理数，则|m|m一定是（　　）
A．零 B．非负数 C．正数 D．非正数
3.（2024秋 江阴市校级月考）如果abc＞0，ac＜0，a＞c，那么（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0
4.数轴上A，B，C三点表示的有理数分别为a，b，c，若ab＜0，a+b＞0，a+b+c＜0，则下列数轴符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
5.已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　）
A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5
6.（2024秋 宜兴市月考）如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（　　）
A．5 B．0 C．5 D．10
7.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、7、8这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（　　）
A．bc＝9 B．c+d＝11 C．ad＝11 D．a+b＝7
二．填空题（共8小题）
8.小明有5张写着不同数字的卡片：5，+1，0，2，+6；他从中任取三张卡片，计算卡片上数字的乘积，其中最大的乘积是　 　 ．
9.已知|a|＝5，|b|＝3，且|ab|＝ba，则a+b＝　 　．
10.已知a为有理数，{a}表示不小于a的最小整数，如{}＝1，{3}＝3，则计算{6}{5}×{1}＝　 　.
11.在数轴上与数2相距2个单位长度的点表示的数为　 　．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖　 　个表示整数的点．最多能覆盖　 　个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖　 个表示整数的点，最多能覆盖　 　表示整数的点．
12.（2024秋 江阴市校级月考）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点出分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数2023的点在圆周上表示数字　 　的点重合．
13.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　 　．
14.（2024秋 宜兴市月考）在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为　 　．
15.如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过　 秒，点M、点N分别到点O的距离相等．
三．解答题（共8小题）
16.计算：（1）20（18）+（+5）+（9）； （2）；
（3）（请用简便方法计算）；
（4）（请用简便方法计算）．
17.（2024秋 吴中区校级月考）若a、b、c是有理数，|a|＝2，|b|＝7，|c|＝6，且a、b同号，b、c异号，求ab+c的值．
18.某中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元） +1 2 +3 1 +2 +4 3
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
（1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期　 　，最高单价是　 　元．
（2）这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
（3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折；
方式二：每斤售价12元．
高老师决定买30斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱．
19.（2024秋 工业园区校级月考）观察下列式子：
1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：　 　 ；
（2）请写出第n个式子：　 　；
（3）计算：（1）×（1）×（1）×…×（1）．
20.若a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是1，1的差倒数是，已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）求a3600的值．
21.（2024秋 惠山区校级月考）同学们都知道|5（2）|表示5与（2）之差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求|5（2）|＝　 　 ；
（2）使得|x+5|＝3成立的数是　 　 ；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，则|x3|+|x6|最小值是　 　；
（4）由以上探索猜想，使得|x3|+|x6|＝7的成立的整数x是　 　．
（5）式子|x+1|+|x2|+|x3|的最小值是　 　 ．
22.（2024秋 吴中区校级月考）已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是　 　，点B对应的数是　 　；
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．
23.（2024秋 宜兴市校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍数点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“倍数点”．
（1）若点A表示数5，点B表示数4，点M是点A、B的“倍数点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　 　 ；
（2）若点A表示数2，点B表示数2，下列各数；0，6，8所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“倍数点”的是　 　 ；
（3）点A表示数10，点B表示数26，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“倍数点”，此时点P表示的数是　 　 ；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍数点”，直接写出此时点P表示的数　 　．
下列数轴符合题意的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵ab＜0，a+b＞0，a+b+c＜0，
∴c＜0，b＜0＜a，|a|＞|b|或c＜0，a＜0＜b，|a|＜|b|，
观察数轴可知符合题意如下：
故选：B．
5．已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　）
A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5
【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0，
当a＞0、b＞0时，且2+3＝5．
当a＞0、b＜0时，且2﹣3＝﹣1．
当a＜0、b＞0时，且2+3＝1．
当a＜0、b＜0时，且2﹣3＝﹣5．
故选：D．
6．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（　　）
A．﹣5 B．0 C．5 D．10
【解答】解：设P0所表示的数是x，
由题意知，P1所表示的数是x+1，
P2所表示的数是x+1﹣2，
P3所表示的数是x+1﹣2+3，
...，
Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，
∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，
∵P10＝0，
即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，
∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，
即x﹣5＝0，
解得x＝5，
故选：C．
7．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，将1、2、3、4、﹣5、﹣6、﹣7、﹣8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将1、2、﹣7、﹣8这四个数填入了圆圈，则下列描述正确的是（　　）
A．b﹣c＝9 B．c+d＝11 C．a﹣d＝11 D．a+b＝7
【解答】解：∵1+2+3+4﹣5﹣6﹣7﹣8＝﹣16，
∴横、竖以及内外两圈上的4个数字之和是﹣8，
∴c+d+1+2＝﹣8，a+b﹣7﹣8＝﹣8，b+d+2﹣7＝﹣8，a+c+1﹣8＝﹣8，
∴c+d＝﹣11，a+b＝7，b+d＝﹣3，a+c＝﹣1，
∴b﹣c＝8，a﹣d＝10，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
8．小明有5张写着不同数字的卡片：5，+1，0，﹣2，+6；他从中任取三张卡片，计算卡片上数字的乘积，其中最大的乘积是 　30　 ．
【解答】解：5×（+1）×0＝0，5×（+1）×（﹣2）＝﹣10，5×（+1）×（+6）＝30，5×0×（﹣2）＝0，
5×0×（+6）＝0，5×（﹣2）×（+6）＝﹣60，
（﹣2）×0×（+1）＝0，（+6）×0×（+1）＝0，+6×（+1）×（﹣2）＝﹣12，+6×0×（﹣2）＝0，
乘积最大时：5×（+1）×（+6）＝30．
故答案为：30．
9．已知|a|＝5，b＝|3|，且|a﹣b|＝b﹣a，那么a+b＝　﹣2或﹣8　 ．
【解答】解：∵|a|＝5，b＝|3|，
∴a＝±5，b＝±3，
∵|a﹣b|＝b﹣a，
∴b﹣a≥0，即b≥a，
∴a＝﹣5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣5+3＝﹣2或a+b＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣2或﹣8．
10．已知a为有理数，{a}表示不小于a的最小整数，如{}＝1，{﹣3}＝﹣3，则计算{6}﹣{5}×{﹣1}＝　12　 ．
【解答】解：由题意得：
{6}﹣{5}×{﹣1}
＝7﹣5×（﹣1）
＝7+5
＝12，
故答案为：12．
11．在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点表示的数为 　0或﹣4　 ．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　2　 个表示整数的点．最多能覆盖 　3　 个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 　2001　 个表示整数的点，最多能覆盖 　2002　 表示整数的点．
【解答】解：在数轴上与数﹣2相距2个单位长度的点有两个，即①﹣2+2＝0；②﹣2﹣2＝﹣4；
如图，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2个表示整数的点，最多能覆盖3个表示整数的点；
同理可得长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖2001个表示整数的点，最多能覆盖2002表示整数的点．
故答案为：0或﹣4；2，3，2001，2002．
12．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点出分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数﹣2023的点在圆周上表示数字 　2　 的点重合．
【解答】解：∵﹣1﹣（﹣2023）＝2022，
2022÷4＝505余数为2，
∴数轴上表示数﹣2023的点与圆周上表示数字2的点重合．
故答案为：2．
13．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　575　 ．
【解答】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子8个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子15个，
按照这样的规律摆下去，
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）；
当n＝23时，（23+2）×23＝575，
故答案为：575．
14．在数轴上有一点A，将点A向左移动2个单位得到点B，点B向左移动4个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为 　4或3　 ．
【解答】解：设a的值为x，则b的值为x﹣2，c的值为x﹣6，
①当x+x﹣2+x﹣6＝x时，
解得：x＝4，
∴a＝4，b＝2，c＝﹣2，
∴abc＜0，符合题意；
（3）（请用简便方法计算）；
（4）（请用简便方法计算）．
【解答】解：（1）﹣20﹣（﹣18）+（+5）+（﹣9）
＝﹣20+18+5﹣9
＝﹣6；
（2）
＝1；
（3）
＝（﹣200）×5
＝﹣200×55
＝﹣1000
＝﹣999；
（4）
．
17．若a、b、c是有理数，|a|＝2，|b|＝7，|c|＝6，且a、b同号，b、c异号，求a﹣b+c的值．
【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝7，|c|＝6，
∴a＝±2，b＝±7，c＝±6，
∵a、b同号，
∴a＝2，b＝7或a＝﹣2，b＝﹣7，
∵b、c异号，
∴当a＝2，b＝7时，c＝﹣6；当a＝﹣2，b＝﹣7时，c＝6．
当a＝2，b＝7，c＝﹣6时，a﹣b+c＝2﹣7+（﹣6）＝﹣11；
当a＝﹣2，b＝﹣7，c＝6时，a﹣b+c＝﹣2﹣（﹣7）+6＝11．
综上，a﹣b+c的值是﹣11或11．
18．某中学附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元） +1 ﹣2 +3 ﹣1 +2 +4 ﹣3
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
（1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期　六　 ，最高单价是　14　 元．
（2）这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）
（3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折；
方式二：每斤售价12元．
高老师决定买30斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱．
【解答】解：（1）这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是：10+4＝14（元）．
故答案为：六，14；
（2）1×20﹣2×35+3×10﹣1×30+2×15+4×5﹣3×50＝﹣150（元），
（10﹣8）×（20+35+10+30+15+5+50）＝2×165＝330（元），
﹣150+330＝180（元）；
所以这一周超市出售此种百香果盈利180元；
（3）方式一：（35﹣5）×13×0.8+13×5＝325（元），
方式二：30×12＝360（元），
∵325＜360，
∴选择方式一购买更省钱．
19．观察下列式子：
1×3+1＝22，2×4+1＝32，3×5+1＝42，4×6+1＝52，…，
（1）请你依照上述规律，写出第6个式子：　6×8+1＝72　 ；
∴a3600的值为4．
21．同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|＝　7　 ；
（2）使得|x+5|＝3成立的数是　﹣8或﹣2　 ；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，则|x﹣3|+|x﹣6|最小值是　3　 ；
（4）由以上探索猜想，使得|x﹣3|+|x﹣6|＝7的成立的整数x是　1或8　 ．
（5）式子|x+1|+|x2|+|x3|的最小值是　 4　 ．
【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7；
故答案为：7；
（2）∵|x+5|＝3
∴x+5＝﹣3或x+5＝3
∴x＝﹣8或x＝﹣2
故答案为：﹣8或﹣2；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3；
故答案为：3；
（4）由（3）可知，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值均为3，
当x从3向左2个单位，即为1时
或当x从6向右2个单位，即为8时，|x﹣3|+|x﹣6|＝7
故答案为：1或8．
22．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是　﹣5　 ，点B对应的数是　27　 ；
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．
【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣5；B对应的数是27；
（2）设经过x秒F追上点E，
根据题意得：2x+32＝4x，
解得：x＝16，
则点C对应的数为﹣5﹣2×16＝﹣37．
故答案为：﹣5；27．
23．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍数点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“倍数点”．
（1）若点A表示数﹣5，点B表示数4，点M是点A、B的“倍数点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为 　﹣2　 ；
（2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数；0，6，8所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“倍数点”的是 　C1，C3　 ；
（3）点A表示数﹣10，点B表示数26，P为数轴上一点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“倍数点”，此时点P表示的数是 　14或﹣46或2　 ；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍数点”，直接写出此时点P表示的数 　44或98或62　 ．
【解答】解：（1）∵点M是点A，B的“倍数点”，
∴MA＝2MB或MB＝2MA，设M点表示的数是x，
∴|x+5|＝2|x﹣4|或|x﹣4|＝2|x+5|，
解得 x＝1或x＝13或x＝﹣2或x＝﹣14，
∵点M在A、B之间，且表示一个负数，
∴x＝﹣2，
∴点M表示的数为﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）设A，B的“倍数点”表示的数是x，
由题意可得|x+2|＝2|x﹣2|或|x﹣2|＝2|x+2|，
解得 x＝6或或或x＝﹣6，
∴C1，C3，是点A，B的“倍数点”，
故答案为：C1，C3；
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