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江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年七年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在生产生活中，正数和负数都有现实意义例如收入元记作元，则支出元记作( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.如图，数轴上点，，分别表示，，，点在，两点之间，靠近点，则可能是( )
A. B. C. D.
3.下列各数中，属于负有理数的是( )
A. B. C. D.
4.下列各对数中，互为相反数的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
5.下列各式中，结果最小的是( )
A. B. C. D.
6.数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后，点表示的数是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.实数，，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，数轴上的点和点分别表示一和，点是线段上一动点点从点出发沿的方向以每秒个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒不超过秒若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.已知的相反数是，则的倒数是 ．
10.已知，，且，则的值为 ．
11.年，全国早稻播种面积稳中有增，根据省区早稻实割实测抽样调查结果推算，全国早稻总产量吨，数据用科学记数法表示为______．
12.比较大小： 填“”或“”
13.在计算时，甲同学的做法如下：
甲同学的计算过程中，从第步到第步依据的运算法则是：同号两数相加，______．
14.已知，则的值为 ．
15.已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则______．
16.我国古代易经一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数如图，孩子出生后的天数是天，那么图表示孩子出生后的天数是 ．
17.如图，已知有理数、、在数轴上的对应点分别为、、，点表示原点若，、两点间的距离为，则的值为 ．
18.小明从，，，，共个数字中选择个不同的数分别填入下面的方框中，使其计算的结果恰好为，则共有 种不同的填法．
三、解答题：本题共8小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在数轴上画出下列各数表示的点，并用“”号连接下列各数
，，，
20.本小题分
； ；
； ．
21.本小题分
某电商把脐橙产品放到了网上售卖，原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况超额记为正，不足记为负单位：：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______脐橙；
若电商以元的价格购进脐橙，又按元出售脐橙，则电商本周一共赚了多少元？
22.本小题分
观察一列数：，，，发现从第二项开始，每一项与相邻前一项之比是同一个常数，这个常数是 ，根据此规律，如果为正整数表示该列数的第项，那么 ， 可用幂的形式表示；
如果想要求的值，可令，将式两边同乘以，得 ，由式减去式，得 ；
若中的数列共有项，设，请利用上述规律和方法计算的值．
23.本小题分
小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”一般地，把个相除记作，读作“的下次方”，即．
直接写出计算结果： ， ．
关于除方，下列说法正确的有 填序号．对于任何正整数，；；是有理数，，是正整数；；负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数．
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：幂的形式．
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式： ， ．
计算：．
24.本小题分
阅读下列材料：
计算：．
解法：原式．
解法：原式的倒数为
，所以原式．
上述解法中，你认为解法 是错误的；
计算：．
25.本小题分
我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数，我们把小于的正的因数叫作的真因数．如的正因数有，，，，其中，，是的真因数．把一个自然数的所有真因数的和除以，所得的商叫作的“完美指标”如的“完美指标”是一个自然数的“完美指标”越接近，我们就说这个数越“完美”如的“完美指标”是，的“完美指标”是，因为比更接近，所以我们说比更“完美”．
试计算的“完美指标”．
试计算和的“完美指标”．
试找出到的自然数中，最“完美”的数．
26.本小题分
【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离请根据数轴解决以下问题：
式子在数轴上的意义是 ．
当取最小值时，可以取整数 ．
的最大值为 ．
的最小值为 ．
【解决问题】
如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧、左侧、右侧、右侧现需要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、的总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
参考答案
1-8
【答案】B
【答案】A
【答案】A
【答案】B
【答案】D
【答案】A
【答案】D
【答案】C
9.【答案】
10.【答案】或
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】取与加数相同的符号，并把绝对值相加
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：
20【答案】解：
；
；
；
．
21.销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售千克；
，
元，
答：电商本周一共赚了元．
22.【答案】(1)3
;36;3n
(2)2S10＝2+22+23+…+211
;211-1
(3)方法一：因为S20＝3+32+33+34+…+320①，所以3S20＝32+33+34+35+…+320+321②．由②式减去①式，得2S20＝321-3．则．
方法二：因为S20＝3+32+33+34+…+320①，所以②．由①式减去②式，得，则．
23.【答案】(1) ;4
(2)①②⑤
(3)
;52
(4)解：．
24.
【答案】(1)①
(2)原式的倒数为，所以原式．
25.【答案】(1)解：因为5的正因数有1，5，其中1是5的真因数，所以5的“完美指标”是．
(2)因为6的正因数有1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因数，所以6的“完美指标”是(1+2+3)÷6＝1．因为9的正因数有1，3，9，其中1，3是9的真因数，所以9的“完美指标”是．
(3)因为15的正因数有1，3，5，15，其中1，3，5是15的真因数，所以15的“完美指标”是．因为16的正因数有1，2，4，8，16，其中1，2，4，8是16的真因数，所以16的“完美指标”是．因为17的正因数有1，17，其中1是17的真因数，所以17的“完美指标”是．因为18的正因数有1，2，3，6，9，18，其中1，2，3，6，9是18的真因数，所以18的“完美指标”是．因为19的正因数有1，19，其中1是19的真因数，所以19的“完美指标”是．因为20的正因数有1，2，4，5，10，20，其中1，2，4，5，10是20的真因数，所以20的“完美指标”是．因为，所以16的“完美指标”最接近1，即15到20的自然数中，最“完美”的数是16．
26.
【答案】(1)表示有理数x的点与表示有理数-2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
(5)设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|，当表示x的点在表示-5的点到表示3的点的线段上时，|x＋5|＋|x-3|有最小值8，当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋1|＋|x-1|有最小值2，故当表示x的点在表示-1的点到表示1的点的线段上时，|x＋5|＋|x＋1|＋|x-1|＋|x-3|有最小值10，所以当便民服务点P建在点B与点C之间时，便民服务点P到四个居民区A、B、C、D的总路程最短，最短路程是10km．

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