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24.4解直角三角形课后培优提升训练华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两边之长分别为5、，这两边夹角的余弦值为，则这个三角形的面积是（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，是等腰直角三角形，点，是斜边上的两个动点，，过点，分别作，，垂足分别为若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（ ）
A． B．10 C．6 D．
7．如图，在中，， ，，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．10.5 D．21
8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为，小正方形面积为1，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
9．在中，， ，的面积为，则 ．
10．在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ．
11．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 （结果精确到，参考数据： ）
12．在等边中，，射线交延长线于点，射线交于点，且，若，则 ．
三、解答题
13．如图， 在矩形中，， 点E在边上， 且．
(1)求线段的长．
(2)F为的中点， M为的中点， N为上一点， 若， 求线段的长．
14．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为，A、B与电塔底部C在同一直线上．
(1)求点B到的距离；
(2)求高压电塔的高度（结果保留根号）．
15．如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，，平分交边于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若求的长．
16．如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
17．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东 方向A处，与灯塔的距离海里，沿正北方向航行一段时间后，到达点 B 处，测得 ．
(1)在这段时间内，海监船与灯塔P 的最近距离是多少海里？
(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）
18．如图，正方形中，P为边上任一点， 于E，点F在的延长线上，且，连接，的平分线交于 G， 连接．
(1)求的度数；
(2)求证：
(3)若， P为的中点， 求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．B
4．D
5．C
6．A
7．C
8．A
二、填空题
9．或
10．或
11．2.667
12．3
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
（2）解：如图：过点M作于H，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴．
14．【解】（1）解：如图，作于点，
，
；
（2）解：由（1）得：
，
，
，
，
，，
．
15．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
16．【解】（1）根据题意可得作出图形，如图所示，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
为中点，
、为、的中点，
，
；
故答案为：2．
连结，
，，
，
又点为的中点，
，，，
，
又，
，
，
．
（2）第一种情况如图所示，，设．则，
，
，
，
过点作于交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
第二种情况：如右图所示，，连接，
易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立；
由（1）可知：，
，
，
又，
．，
可得，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
17．【解】（1）解：过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．
由题意，得，海里．
在中，
∵，，
∴（海里）．
答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是海里．
（2）解：在中，∵，，海里，
∴（海里）．
∴（海里）．
答：海监船航行的距离为海里．
18．【解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴.
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴.
∵，
∴.
在中，，平分，
即，
∴.
在中，，
即；
（2）解：如图所示，
过点C作，交于点H，
∵四边形是正方形，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
即.
在中，，
根据勾股定理，得，
即，
同理：
∴，
即；
（3）解：过点F作交分别于点M，N，
∵点P是的中点，
∴.
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴，设，则，
可知，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∴.
在中，.
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