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4.1正弦和余弦课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是100，小正方形面积是4，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，的值为 ．
10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）．证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．连接，若，，则的值为 ．
11．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ．
12．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且， ．
三、解答题
13．如图，在中，，，
(1)求的长．
(2)利用此图求的精确值．
14．如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接，交于点O，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，，求的长．
(3)如图2，若矩形是正方形，时，求以下值．
①求的值；
②求的值．
15．如图，在中，是边上的高，且．
(1)求的大小；
(2)若，，求的余弦值．
16．如图，菱形中，以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点．
(1)求证：；
(2)连结，若，求的值．
17．如图，在中，，点在边上，且，连结．
(1)求的长．
(2)求的值．
18．如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，求的值
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．D
4．A
5．C
6．C
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，，
，，
，
，
∵，
，
∴，即，
∴，
， （舍去），
；
（2）解：过点B作，交于点E，
，
，，
，
，
，
．
14．【解】（1）解： ，
理由：四边形是矩形，
，
．
，
，
，
；
（2）如图1，延长交于点G，
四边形是矩形，
，，
，，．
，，
，，，
；
（3）设正方形的边长为a，则，
①如图2，延长交于点G，
∵四边形是正方形，，，
，
，
，，
，
，
；
②，，
在与中，
（），
，，
．
，
，
．
15．【解】（1）解：是边上的高，
∴，
∴，
，
，即；
（2）解：由（1）证得，
∴，
又∵，
，
，
，
，，，
，
解得：或（负值舍去）
，
．
16．【解】（1）证明：连接，
∵，
∴为的中垂线，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的中垂线，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
则
解得，
∴．
17．【解】（1）解：过点作于点，如图．
，
，
又，
，．
在中，，
在中，．
（2）解：过点作于点，如图．
由已知可得：，
，
，
，
．
．
18．【解】（1）四边形为矩形，
，
，
为中点，
，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）四边形为矩形，，，
，
设
由（1）知：，
中，，
即，
解得
∴，，
∴．
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