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4.2正切课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．在中，，，分别是边，上的中线，且，那么的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．如图，在小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．若，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则是（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含有的任意三角形
D．顶角为钝角的等腰三角形
6．如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点D为的中点，于点E，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，若，则 ．
10．在中，，，则 ．
11．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于 ．
12．如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ．
三、解答题
13．计算下列各题：
(1)；
(2) ．
14．【基础巩固】
（1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值；
【尝试应用】
（2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值；
【拓展提高】
（3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）．
15．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
(1)求矩形对角线的长．
(2)过点O作于点E，连接．记，求的值．
16．如图，在四边形中，，，对角线相交于点，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作于点，交于点．若，，求的长．
17．追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并利用（1）中得到的结论完成题（2）．
如图1， 是的角平分线，过点分别作和的平行线交于点，交于点．
（1）求证：四边形是菱形．
结论应用
（2）如图2，若是的中点，，求四边形的周长．
18．如图，在中，点为的中点，过点作，延长到点使，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．D
4．D
5．D
6．B
7．A
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【解】解：（1），
，
又∵，
，
又∵，
，
．
（2）如图，过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
根据（1）可得：
．
（3）如图，延长交于点，
，，
，
，
，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即，
，
由（2）可知．
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形对角线的长为4；
（2）解：由勾股定理，得，
∵，于点E，
∴，
∴．
16．【解】（1）证明：∵，
，
平分，
，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
即，
，
即的长为．
17．【解】解：（1）∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）如图，连接交于点，
∵是的角平分线，
∴点D到和到的距离相等，
设点D到的距离为h，则，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得.
∴菱形的周长为．
18．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（）可知，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵是的中点，，
∴．
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