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2.3一元二次方程根的判别式课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．当时，方程实数根的个数（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定
3．下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根
5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．或
6．已知方程有两个相等实根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
7．方程没有实数根，则k的最小整数值是（　　）
A． B．2 C．3 D．4
8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
11．已知分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且是关于的一元二次方程的两个根，则的值是 ．
12．对于一元二次方程，下列说法
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则，其中正确的
三、解答题
13．已知关于x的方程，有两个不相等的实数根：
(1)求k的取值范围；
(2)若这个方程有一个根为2，求k的值．
14．已知方程的判别式的值为．
(1)求的值并求出方程的根．
(2)若等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，求这个三角形的面积．
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为正整数，求该方程的根．
16．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
(3)若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
17．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个不等的实数根；
(2)已知方程的一个根为，求代数式的值．
18．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．D
4．D
5．C
6．B
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．且
11．1或2
12．①②④
三、解答题
13．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴代入方程得：
即，
解得：或，
∵，
∴．
14．【解】（1）解：方程的判别式的值为，
，
解得：，
当时，方程的解为，，
当时，方程的解为，；
（2）解：等腰三角形底边长为，腰长是上述方程的根，
当时，方程的解为，，不符合题意，
等腰三角形的腰长是方程的解为，，
当腰为时，，不能构成三角形，
等腰三角形的腰长是，
设底边上的高为，由勾股定理得：
，
等腰三角形的面积为．
15．【解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）∵为正整数，，
∴，
此时方程为，
∴，
∴或，
解得：，．
16．【解】（1）证明：，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得：，，
方程的“友好点”为；
（3）解：由题意，直线，
过定点，
两个根为，，
，，
，
，即．
17．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程．
∴
∵，
∴方程总有两个不等的实数根．
（2）解∵是方程的一个根，
∴将代入得：
，
，
解得或．
当时，代入得：
．
当时，代入得：
．
∴代数式的值为5．
18．【解】（1）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由（1）已证：这个方程有两个不相等的实数根，
∵等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，
∴是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
整理得：，
解得或，
①当时，这个一元二次方程为，
解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意；
②当时，这个一元二次方程为，
解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意；
综上，的值为5或7．
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