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1.3反比例函数的应用培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压与气球体积是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（　　）
p（kPa） … 20 40 60 100 120 …
V（m3） … 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 …
A．小于0.96 B．不小于0.96 C．大于0.96 D．不大于0.96
2．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
4．如图，函数与的图象相交于点和点，当时的自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．如图，过反比例函数的图象上一点作轴的垂线交反比例函数的图象于点，连接、，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知直线与函数的图象相交于点，则的值是（　　）
A．13 B．11 C．7 D．5
8．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点是反比例函数的第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式为 ．
10．如图，已知四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图像经过点C，且与交于点E，若，则的面积为 ．
11．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C，若，则k的值为 ．
12．如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
14．已知反比例函数．
(1)若函数的图像经过点，求的函数表达式；
(2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围．
(3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值．
15．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图像直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围．
(3)求的面积．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交点A，B位于第二象限．已知，点B的纵坐标为4．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)依据图像，直接写出不等式的解集；
(3)设点P是y轴上任意一点，若的面积等于3，求点的坐标．
17．如图，反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数交于另一点C，若y轴上有一点M，使的面积为12，求点M的坐标；
(3)请结合图像回答，x为___________时，；
(4)在x轴上有一点N， 若满足最大， 则点N的坐标为：___________．
若满足最小， 则点N的坐标为___________；
若满足最小，则点N的坐标为___________．
18．某位患有疾病的甲病人第一次使用药物后药物效能（单位：）与服用时间（时间：）的变化关系为（如图）． 已知时效能最高到达，且自第次服药后效能最多提高，且当药效下降至时需再次服药，使得与的正比例关系呈现同样的图象形状．
(1)求，，；
(2)第三次服药时离第二次服药间隔为多久？
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．C
4．D
5．D
6．C
7．A
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．12
三、解答题
13．【解】（1）解：点，在一次函数上，
，
解得，
一次函数解析式为：．
在反比例函数图象上，
．
反比例函数解析式为：．
（2）解：令，则，，
点的坐标为，，
．
14．【解】（1）解：∵函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴．
（2）解：∵，，
∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小；
∴当，且时，x的取值范围为或．
（3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限，
∴当时，函数有最小值，即；
当时，函数有最大值m，即；
所以，解得．
15．【解】（1）解：∵点、在反比例函数的图象上，
∴，，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得：．
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：根据函数图象可得，当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是或；
（3）如图，设交轴于点，
当时，，
∴，．
∵、，
∴．
16．【解】（1）解：将点代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数的表达式为：，
∴当时，则，即点，
把点A、B坐标代入一次函数解析式得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为或；
（3）解：当点在下方时，
过点作直线交轴于点，过点作于点，
由点、的坐标得，，
则的面积，
则，
由一次函数的表达式为：可知：当时，则，当，则，
∴直线与x、y轴的交点坐标分别为，即直线与x、y轴所围成的三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
设直线的表达式为：，把代入可得：，
∴直线的表达式为：，
当时，则，
∴点；
当点在上方时，
同理可得，过点和平行的直线的表达式为，
则点，
综上，或．
17．【解】（1）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，
，
则反比例函数解析式为，
，
即B，
将A和B代入中，
得：，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：直线与反比例函数交于另一点C，且A，
C，
点M在 y轴上，
设点M坐标为，
的面积为12，
，
解得或，
M点坐标为或；
（3）解：反比例函数 与一次函数的图像相交于 A和B两点，
结合函数图象可知，x为 或 时，；
故答案为： 或 ；
（4）解：，
当三点共线时，最大，
，
当时，，
若满足最大， 则点N的坐标为；
设点N坐标为，
A，B，
，，
要满足最小，且，
即，
解得，
若满足最小， 则点N的坐标为；
作关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
，
，
当三点共线时，最小，即满足最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
即若满足最小，则N的坐标为．
故答案为：，，．
18．【解】（1）解：当时，过，
，
当时，过，
，
过，
．
故，，．
（2）解：设第二次服药后药效最大为时，药效达到时，，
当时，设，
由于过，故有，则，又过，
故，
当时，设，由于过，故，则，
又过，故，
第三次服药时离第二次服药间隔为．
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