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2.4一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级上册
一、选择题
1．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　）
A． B． C．95 D．
3．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
4．已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若是方程 的一个根，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是和
7．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．2025
8．若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．1或4
二、填空题
9．设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
10．已知 ，是一元二次方程的两根，则 ．
11．为方程的两个根，则代数式的值为 ．
12．已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值．
14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值．
15．阅读下列材料：
【材料1】若一元二次方程的两根为，
则．
【材料2】已知实数满足，且，求的值．
解：由题知是方程的两个不相等的实数根，
∴；
∴ ．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________；
(2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值；
(3)已知：，，且．求的值为______________．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
17．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该方程都有实数根；
(2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．D
5．B
6．C
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．
11．1
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
14．【解】（1）解（1）∵，
∴解得．
∵，
∴是“3倍根方程”．
（2）∵，
解得 ．
∵是“3倍根方程”，
分情况讨论：
①则：．
②则：．
（3）∵（是常数）是“3倍根方程”，
∴不妨设是的三倍，
由韦达定理：，解得．
当时，
，
∴．
当，
，
∴．
15．【解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1，
∴，即：，
∴．
故答案为2．
（2）解：设关于的方程的两个实数根分别为，
根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
当时，原方程化为，
则，此方程没有实数解；
当时，原方程化为，
则，此方程有两个不相等的实数解．
综上所述，的值为．
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
∵
∴是方程的两个的实数根，且．
∵，
∴．
16．【解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵方程两实数根分别为，，
∴，
，
∵，
∴，
，
解得：（舍去）或，
∵，
∴．
17．【解】（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
18．【解】（1），
无论k为何值，，即，
关于x的一元二次方程都有实数根；
（2）当时，原方程为，则，
．
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