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第1章 集合
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{1，3，a}，N＝{2，a2}．若M∪N＝{1，2，3，4，16}，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（5分）若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（　　）
A．A C B．C A C．A≠C D．A＝
3．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．（5分）若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m+1}，且A＝B，则m＝（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．0或1
5．（5分）如图，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A．{2，4，5，8} B．{2，8} C．{2，6，8} D．{1，3，6}
6．（5分）若全集U、集合A、集合B及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴示的集合为（　　）
A． U（A∩B） B． U（A∪B）
C．（A∪B）∩（ U（A∩B）） D．（（ UA）∩B）∩（ UB）∩A
7．（5分）设A，B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，已知A＝{x|y}，B＝{x|x＞1}，则A×B等于（　　）
A．[0，1]∪（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1] D．[0，2）
8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足
①每个集合都恰有5个元素；
②A1∪A2∪A3＝M，
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（　　）
A．37 B．39 C．48 D．57
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．
（多选）9．（5分）下列各组对象能构成集合的是（　　）
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
（多选）10．（5分）下列四个选项中正确的是（　　）
A．{ } {a，b} B．{（a，b）}＝{a，b} C．{a，b} {b，a} D． {0}
（多选）11．（5分）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（　　）
A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5}
（多选）12．（5分）下列选项中的两个集合相等的有（　　）
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}
C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}
D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设集合M满足M∪{1，2，3}＝{1，2，3，4}，则符合题意的M的个数为　 　 ．
14．（5分）设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝　 　 ．
15．（5分）定义A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B＝　 　 ．
16．（5分）某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有　 　 人．
四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|x为小于6的正整数}，B＝{x|x为小于10的素数}，集合C＝{x|x为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合M＝{x|x∈A且x∈C}；
（2）试用列举法表示集合N＝{x|x∈B且x C}．
18．（12分）设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}，若B A，求实数a的值．
19．（12分）已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
20．（12分）若集合A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣3＝0}．
（1）若m＝0，写出A∪B的子集；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
21．（12分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|1≤2x+5≤15}．
（1）已知a＝3，求（ RP）∩Q；
（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
22．（12分）设数集A满足：若x∈A（x≠1，x≠0），则∈A
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为单元素集合，并说明理由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．
第1章 集合
参考答案与试题解析
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）集合M＝{1，3，a}，N＝{2，a2}．若M∪N＝{1，2，3，4，16}，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据并集得参数a的条件，从而建立方程求解．
【解答】解：∵M＝{1，3，a}，N＝{2，a2}．M∪N＝{1，2，3，4，16}，
∴或，
∴a＝4或a无解，
∴a＝4，
故选：D．
【点评】本题考查并集的概念，方程思想，属基础题．
2．（5分）若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（　　）
A．A C B．C A C．A≠C D．A＝
【分析】本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A A∪B，B A∪B，A∩B A，A∩B B．
【解答】解：因为A A∪B且C∩B C，A∪B＝C∩B由题意得A C，
故选：A．
【点评】本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解．
3．（5分）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．
【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，
∴P＝M∩N＝{1，3}
∴P的子集共有22＝4
故选：B．
【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．
4．（5分）若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m+1}，且A＝B，则m＝（　　）
A．0 B．1 C．±1 D．0或1
【分析】利用集合相等的概念和集合中元素的互异性直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，m}，B＝{m2，m+1}，且A＝B，
∴m≠m+1，∴m＝m2，
解得m＝0或m＝1（舍），
综上，m＝0．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）如图，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A．{2，4，5，8} B．{2，8} C．{2，6，8} D．{1，3，6}
【分析】图中阴影部分表示的是集合A∩B∩C在集合A∩C中的补集，由此即可得到答案．
【解答】解：图中阴影部分表示的是集合A∩B∩C在集合A∩C中的补集，而A∩B∩C＝{4，5}，A∩C＝{2，4，5，8}，
∴阴影部分表示的集合为{2，8}．
故选：B．
【点评】本题考查Venn图表示集合，考查集合的运算，属于基础题．
6．（5分）若全集U、集合A、集合B及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴示的集合为（　　）
A． U（A∩B） B． U（A∪B）
C．（A∪B）∩（ U（A∩B）） D．（（ UA）∩B）∩（ UB）∩A
【分析】根据Venn图表示集合关系进行表示即可得到结论．
【解答】解：由Venn图可知阴影部分的元素是属于集合A或B的元素，但不属于A∩B的元素构成，
即对应的集合为（A∪B）∩（ U（A∩B）），
故选：C．
【点评】本题主要考查集合关系的判断，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
7．（5分）设A，B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，已知A＝{x|y}，B＝{x|x＞1}，则A×B等于（　　）
A．[0，1]∪（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1] D．[0，2）
【分析】求出集合A，进而得到集合A与B的交集和补集，根据定义得出结果．
【解答】解：集合A＝[0，2]，
则A∪B＝[0，+∞），A∩B＝（1，2]，
∴A×B＝[0，1]∪（2，+∞），
故选：A．
【点评】本题以新定义的形式考查集合的交并补运算，属于基础题．
8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足
①每个集合都恰有5个元素；
②A1∪A2∪A3＝M，
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（　　）
A．37 B．39 C．48 D．57
【分析】求出集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．
【解答】解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，
当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，
X1+X2+X3＝8+18+13＝39，故排除B选项；
当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3＝16+16+16＝48，故排除C选项；
当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，
X1+X2+X3＝16+19+22＝57，故排除D选项．
∴X1+X2+X3的值不可能为37．
故选：A．
【点评】本题考查满足条件的集合的判断，考查子集，并集、排除法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．
（多选）9．（5分）下列各组对象能构成集合的是（　　）
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
【分析】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可．
【解答】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A正确；
数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B不正确；
有理数具有确定性，能构成集合，故C正确；
小于π的正整数具有确定性，能构成集合，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查了集合的判断与应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列四个选项中正确的是（　　）
A．{ } {a，b} B．{（a，b）}＝{a，b} C．{a，b} {b，a} D． {0}
【分析】分别判断各选项中集合间关系即可．
【解答】解：{ }的元素是空集 ，{a，b}的元素是a，b，
故两个集合间没有包含关系，故选项A错误；
{（a，b）}是有序数对（a，b）构成的集合，
{a，b}是有两个实数构成的集合，
所以两个集合间没有包含关系，故选项B错误；
{a，b} {b，a}，故选项C正确；
{0}，故选项D正确；
故选：CD．
【点评】本题考查了集合间关系的判断，属于基础题．
（多选）11．（5分）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（　　）
A．{5} B．{1，5} C．{1，3} D．{1，3，5}
【分析】利用列举法、并集定义直接求解．
【解答】解：满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能为：
A＝{5}，A＝{1，5}，A＝{3，5}，A＝{1，3，5}．
故选：ABD．
【点评】本题考查满足条件的集合的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（5分）下列选项中的两个集合相等的有（　　）
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}
C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x，n∈Z}
D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}
【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．
【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以P＝Q；
选项B：集合P中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，
集合Q是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1 Q，所以P≠Q；
选项C：集合P＝{0，1}，集合Q中：当n为奇数时，x＝0，当n为偶数时，x＝1，所以Q＝{0，1}，则P＝Q；
选项D：集合P表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以P≠Q；
综上，选项AC表示的集合相等，
故选：AC．
【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设集合M满足M∪{1，2，3}＝{1，2，3，4}，则符合题意的M的个数为　8　 ．
【分析】根据题意，由交集的定义分析集合M可能的情况，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，集合M满足M∪{1，2，3}＝{1，2，3，4}，
则M可以为{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{2，3，4}、{1，3，4}、{1，2，3，4}；有8个；
故答案为：8．
【点评】本题考查集合并集的计算，关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．
14．（5分）设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2﹣4x+3＞0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝　{x|1≤x≤3}　 ．
【分析】分别解出集合A集合B，然后求集合{x|x∈A且x A∩B}．
【解答】解：集合A＝{x|﹣4＜x＜4}，集合B＝{x|x＞3或x＜1}，A∩B＝{x|﹣4＜x＜1或3＜x＜4}，
则集合{x|x∈A且x A∩B}＝{x|1≤x≤3}
故答案为：{x|1≤x≤3}．
【点评】本题考查元素与集合的关系，是基础题．
15．（5分）定义A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，则集合A*B＝　{2，3，4，5}　 ．
【分析】A*B中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合A*B，注意元素的互异性．
【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}
∴A*B中的元素有
1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2+1＝3，2+2＝4，2+3＝5
所以A*B＝{2，3，4，5}
故答案为{2，3，4，5}
【点评】本题考查理解题中 新定义、并利用新定义求集合．新定义的题型是近几年高考常考的题型．
16．（5分）某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项，没有参加B项的学生有　9　 人．
【分析】利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只参加A，不参加B，只参加B，不参加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．
【解答】解：设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为30﹣x，只参加B，不参加A的为33﹣x，
则AB都不参加的人数为50﹣（30﹣x+x+33﹣x）＝x﹣13．
因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，
所以x﹣13，解得x＝21．
所以只参加A项，没有参加B项的学生有30﹣21＝9．
故答案为：9
【点评】本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．
四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知集合A＝{x|x为小于6的正整数}，B＝{x|x为小于10的素数}，集合C＝{x|x为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合M＝{x|x∈A且x∈C}；
（2）试用列举法表示集合N＝{x|x∈B且x C}．
【分析】先化简，再运算即可求解．
【解答】解：由题意可得A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，3，5，7}，C＝{1，2，3，4，6，12}
（1）∵M＝{x|x∈A且x∈C}，
∴M＝{1，2，3，4}；
（2）∵N＝{x|x∈B且x C}，
∴N＝{5，7}，
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
18．（12分）设集合A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，a∈R，x∈R}，若B A，求实数a的值．
【分析】解x2+4x＝0可得集合A，由B A，进而可得B＝ 或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}，分别求出a的值，综合可得答案．
【解答】解：A＝{x|x2+4x＝0，x∈R}＝{0，﹣4}
∵B A
∴B＝ 或{0}或{﹣4}或{0，﹣4}；
①当B＝ 时，Δ＝[2（a+1）]2﹣4 （a2﹣1）＜0 a＜﹣1
②当B＝{0}时， a＝﹣1
③当B＝{﹣4}时， a不存在
④当B＝{0，﹣4}时， a＝1
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪{1}．
【点评】本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，注意分析B＝ 的情况．
19．（12分）已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
【分析】若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个根，进而可得答案．
【解答】解：存在M＝{1，}满足条件；理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个根，
则m﹣1＝0，或，
解得：m＝1，或m，
故M＝{1，}．
【点评】本题考查的知识点是子集与真子集，方程根的存在性及个数判断，难度中档．
20．（12分）若集合A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣3＝0}．
（1）若m＝0，写出A∪B的子集；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，由m＝0可得集合B，由并集的定义可得A∪B，列举出其子集即可得答案；
（2）分析可得B A，分类讨论B可能的情况，综合即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，
m＝0时，B＝{1，﹣3}，A∪B＝{﹣6，﹣3，1}；
∴A∪B的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}，
（2）由已知B A，
m＜﹣2时，B＝ ，成立
m＝﹣2时，B＝{1} A，成立
m＞﹣2时，若B A，则B＝{﹣6，1}；
∴ m无解，
综上所述：m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查集合包含关系的应用，涉及集合并集的计算，注意（2）中B可能为空集．
21．（12分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|1≤2x+5≤15}．
（1）已知a＝3，求（ RP）∩Q；
（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
【分析】利用数轴进行数集的交、并、补运算，（2）P Q，分P＝ 和P≠ 讨论求解即可．
【解答】解：（1）当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， RP＝{x|x＜4或x＞7}
∵Q＝{x|1≤2x+5≤15}，∴Q＝{x|﹣2≤x≤5}
∴（ RP）∩Q＝{x|﹣2≤x＜4}．
（2）∵P∪Q＝Q，∴P Q
当a+1＞2a+1时，即a＜0时P＝ ，P Q成立
当a≥0时，P≠ ，∵P Q，
则∴0≤a≤2
综上a的取值范围是{a|a≤2}
【点评】本题考查集合运算、集合关系中参数取值问题，要特别注意空集的情况．
22．（12分）设数集A满足：若x∈A（x≠1，x≠0），则∈A
（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
（2）集合A是否为单元素集合，并说明理由；
（3）若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A．
【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；
（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；
（3）先求出集合A中元素的个数，分别讨论若x2＝1，结合所有元素的和为的情况，求出x的值，从而求出集合A．
【解答】（1）证明：若x∈A，则∈A．
又∵2∈A，
∴1∈A
∵﹣1∈A，∴∈A．
∵∈A，∴2∈A．
∴A中另外两个元素为﹣1，；
（2）若A为单元素集，则x，即x2﹣x+1＝0，方程无解．
∴x，
∴A不可能为单元素集；
（3）由x∈A，∈A，得∈A，
得x∈A，∴{x，，} A，
而x 1，
A中元素个数为3的倍数，则A中元素只有6个，
设m∈A（m≠x），则m，，都为A中的元素，
此时A＝{x，，，m，，}，
所有元素的积为1，∴集合A中存在元素，其平方为1，
不妨设（）2＝1，或（）2＝1，∴x＝2或x，
∴，
解得m或m＝3或m，
∴A＝{，2，﹣1，，3，}．
【点评】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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