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2025-2026 学年北京市高二上学期适应性练习数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
1.已知全集 = { 3, 1,3,4}，集合 满足 = { 3,4}，则 =( )
A. { 1,3} B. { 3, 1} C. {1, 3} D. {1,3}
2.已知复数 满足(1 )2 = 2 4 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3 .已知非零向量 , 满足 ，| | = 3，且 与 + 的夹角为 4，则| | =( )
A. 6 B. 3 2 C. 2 2 D. 3
4.已知平面 , 互相垂直，直线 , 不在 , 内且互相平行，则“ // ”是“ ⊥ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，准线为 ，与 轴平行的直线与 和 分别交于 , 两点，且∠ = 60 ，
则 =( )
A. 4 3 B. 4 2 C. 12 D. 8
6.若直线 : + = 0 > 0 被圆 : 1 2 + + 1 2 = 4 截得的弦长为 2 ，则 =( )
A. 2 105 B. 2 C. 2 D. 2 2
7.下列函数是奇函数，且函数值恒小于 1 的是( )．

A. = 2 1 1 2 +1 B. = ln 1+
1 1
C. = sin D. = 3 + 3
8.设 ， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是( )
A.若 + < 2，则 sin + sin < 2
B.若 + < 2，则 cos + cos < 2
C.若 + > 2，则 sin + sin > 1
D.若 + > 2，则 cos + cos > 1
9.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854 年，爱尔兰学者在大英博物馆所
藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续 15 天月相变化的数列，记为 ，其将满月等分成 240 份，
(1 ≤ ≤ 15 且 ∈ )表示第 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第 1 天月球被太阳照亮部分
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5
占满月的240，即 1 = 5；第 15 天为满月，即 15 = 240.已知 的第 1 项到第 5 项是公比为 的等比数列，
第 5 项到第 15 项是公差为 的等差数列，且 ， 均为正整数，则 6 = ( )．
A. 80 B. 96 C. 100 D. 112
10.已知函数 ( ) = , ( ) = ln + 1，若对于 1 ∈ ， 2 ∈ 0, + ∞ ，使得 1 = 2 ，则 1 2
的最大值为( )
A. B. 1 C. 1 D. 1 1
三、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.设 是等差数列{ }的前 项和， 12 = 8， 9 = 9，则 16 = ．
1 12.在 2 + 2 的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为 22，则 的值为 ，展开式中系数最大的
项为 ．
13.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”( )是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面
体.如下图五面体 是一个刍甍，其中四边形 为矩形，其中 = 8， = 2 3，△ 与△
都是等边三角形，且二面角 与 相等，则 长度的取值范围为 ．
+ 2 , <

2
14.已知函数 = cos , ≤ ≤ ，若

是 2 , + ∞ 上的单调函数，则 的一个取值为 ；若 2
+ + 4 , >
有最小值，则 的取值范围是 ．
15.曲线 : 2 + 2 = + ， ， 是曲线 上任意两点，则下列说法正确的有 ．
①曲线 的图象关于原点对称；② 的最大值 2 2
③直线 与曲线 没有其它交点；④曲线 所围成的面积为 + 2
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且 cos = 2 cos ．
(1) sin 求sin 的值；
(2)若 = 3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面积．
条件①：cos = 1116；条件②：sin =
15
4 ；条件③： 的周长为 9．
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17.如图，四边形 是正方形， ⊥平面 ， // ， = = 2 = 2， , , 分别为 , ,
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小．
18.为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，
乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地
区分配一名学生．
(1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；
(2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量 , ，
定义协方差为 , = .如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果
协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相
关．
在参加志愿服务活动的 4 名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为 ，不在本地区参加志愿服务的
学生人数为 ．
(ⅰ)求随机变量 的分布列；
(ⅱ)求 , ，并说明 , 之间的线性相关关系．
2 2
19 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 ， 2 2, 0
3 3 1 3 3 1 1
为椭圆 的右焦点，三点 2 , 2 ， 2 , 2 ， 2, 3 中
恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 , 为椭圆 的左右端点，过点 2,0 作直线交椭圆 于 ， 两点(不同于 , )，求证：直线 与直
线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程．
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20.已知函数 = 2 1 ln ， ∈ ， = 1 ．
(1) 1证明： < 在区间 1, + ∞ 恒成立；
(2)若 的最小值为 0，求 的值；
(3) 1若 > sin 1 + 1 在区间 1, + ∞ 内恒成立，求 的取值范围．
21.已知 ≥ 3 项数列 : 1, 2, , ，对于给定 = 1,2, , ，定义变换 ：将数列 中的项 替换为 ，
+
其余项均保持不变，记得到的新数列为 .其中，当 = 1 时， = 1 22 ；当 2 ≤ ≤ 1 时， =
1+ + +1 ；当 = 时， = 1+ 3 2 .若将数列 再进行上述变换 = 1,2, , ，记得到的新数列为
, ，重复操作，得到数列 = 1,2, , ，并称 为第一次 变换， 为第二次 变换， ．
(1)若数列 ：1, 1,3, 4，求数列 2 和 1 2 2 ；
(2)设 为递增数列，对 进行有限次 变换后得到数列 .证明： 为递增数列；
(3)当第 ∈ 次 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 = 1；否则 = 0.对于给定的 项数
列 ，进行 2025 次 变换，证明： 1 + 2 + + 2025 ≤ 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 72
12.6；96 5
13. 2,14
14.0( 1答案不唯一)； 4 , 0
15.①②④
16.(1)解：因为 cos = 2 cos ，
由正弦定理得 sin cos = 2sin cos sin ，
即 2sin = sin cos + cos sin = sin( + )，
又因为 + = ，可得 sin + = sin = sin ，
2sin = sin sin 所以 ，可得 sin = 2 ．
(2)解：由(1)得 sin = 2sin ，由正弦定理得 = 2 ，
2+ 2 2 2+4 2 9 11
若选条件①：由余弦定理得 cos = 2 ，即 4 2 = 16 ，
又由 > 0 ，解得 = 2 ，则 = 4 ，此时 存在且唯一确定，
因为 cos = 1116 > 0 ，则 ∈ 0,
3 15
2 ，可得 sin = 1
2 = 16 ，
所以 =
1
2 sin =
1 × 2 × 4 × 3 15 3 152 16 = 4 ；
若选条件②：由 sin = 154 ，因为 > ，即 > ，
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若 1为锐角，则 cos = 1 2 = 4 ，
2+ 2cos =
2 1 =
2+9 4 2
由余弦定理 2 ，即 4 6 ，
整理得 2 2 + 6 = 0 3，且 > 0 ，解得 = 2 ，则 = 3 ；
1
若 为钝角，则 cos = 1 2 = 4 ，
2+ 2 2 1 2+9 4 2
由余弦定理得 cos = 2 ，即 4 = 6 ，
整理得 2 2 6 = 0 ，且 > 0 ，解得 = 2 ，则 = 4 ；
综上所述，此时 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为 + + = 9 ，即 + 3 + 2 = 9 ，解得 = 2 ，则 = 4 ，
所以此时 存在且唯一确定，
2
cos = +
2 2 = 4+16 9 = 11由余弦定理得 2 2×2×4 16 > 0 ，
因为 ∈ 0, 2 ，可得 sin = 1
2 = 3 1516 ，
1 1 3 15 3 15所以 = 2 sin = 2 × 2 × 4 × 16 = 4 ．
17.(1)因为 , 分别为 , 中点，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ， //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ，且 // ，所以 ⊥平面 ，
又因为四边形 为矩形，所以 , , 两两垂直，
故以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,2), (2,2,0), (0,2,0), (2,0,1), (1,1,1), (2,1, 12 ), (0,1,1)，
可得 = (0,2, 2), = (2,0,0)

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 0 2 2 = 0 ，即
= 0 2 = 0
,
取 = 1，可得 = 1，所以平面 的一个法向量为 = (0,1,1)，
同理可取平面 的法向量为 = (0,1,0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 cos = | | = 2| | | | 2 ，又由 ∈ [0,
]
2 ，所以平面 与平面 夹角为4．
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18.解：(1)记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件
，样本空间为 ，
则 = 44 = 24， = 33 + 1 1 22 2 2 = 14，
所以 = 14 7 = 24 = 12．
(2)(ⅰ)由题意可知：随机变量 的可能取值为 0，1，2，4，
1 1 9 3 4 1 8 1
则 = 0 = 3 34 = 24 = 8 , = 1 =
2
4 = 4 4 24
= 3，
2 = 2 = 4 = 6 = 1 , = 4 = 1 1
44 24 4
4 = 4 24
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 4
3 1 1 1
8 3 4 24
(ⅱ)由题意可知： + = 4，即 = 4 ，
因为 = 0 × 3 + 1 × 1 + 2 × 1+ 4 × 18 3 4 24 = 1，则 = 4 = 3，
令 = = 1 3 = 1 2，
可知随机变量 的可能取值为 9, 1,0，
则 = 9 = = 4 = 1 5 124 , = 1 = = 2 + = 0 = 8 , = 0 = = 1 = 3，
可得随机变量 的分布列为
9 1 0
1 5 1
24 8 3
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, = = 9 × 1 + 1 × 5 1可得 24 8 + 0 × 3 = 1，
因为 , < 0，所以随机变量 , 之间具有负相关关系．
19.(1)因为 2 2, 0 为椭圆 的右焦点，所以 2 2 = 8①，
3 3
由对称性得，点 2 ,
1
2 ，
3 3
2 ,
1 27 1
2 在椭圆 上，代入得4 2 + 4 2 = 1②，
联立①②解得， 2 = 9， 2 = 1，

2
所以椭圆 的标准方程为： 9 +
2 = 1．
(2)由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 = + 2，
2 2
9 + = 1联立 ，可得 2 + 9 2 + 4 5 = 0，
= + 2
设 1, 1 ， 2, 2 ， 0, 0 ，
4 5 5 +
则 1 + 2 = 2+9， 1 2 = 2+9， =
1 2
4 ，1 2
由(1)可得 3,0 ， 3,0 ，
由 , , +3 +3 +5共线得： 0 =
1 = 1 ③，0 1 1
由 , , 共线得： 0 3 = 2 3 2 1 0
= ④，2 2
5
÷ 0+3 = 1 2+5 2 4
1+ 2 +5 2
由③ ④消去 0并整理得， 0 3 1 2
=
1 5
= 5，
4 1+ 2 1
+3
即 0 3 = 5，所以
9
0 = 2，0
9
综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 = 2上运动．
20.(1) 在 1, + ∞ 恒正，
1
则 < 在区间 1, + ∞ 恒成立等价于
1 > 在区间 1, + ∞ 恒成立．
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取 = 1 ， ′ = 1 1 > 0，故 在区间 1, + ∞ 单调递增，
所以 > 0 = 0．
故原不等式恒成立．
2
(2) ′ = 2 1 ， > 0，
当 ≤ 0 时，函数 的单调递减区间是 0, + ∞ ， 不存在最小值；
1 1
当 > 0 时，函数 的单调递减区间是 0, 2 ，单调递增区间是 2 , + ∞ ．
1 1 1 1
则 的最小值为 2 = 2 + 2 ln2 ，令 = 2 +
1
2 ln2
1 1 2
， > 0，则 ′ = 1 + 2 = 2 ，
1 1 1的单调递增区间是 0, 2 ，单调递减区间是 2 , + ∞ ，∴ ≤ 2 = 0．
1
即当 = 2时， 的最小值为 0，
∴ = 12．
(3)记 = sin 1 1 1 + ，
则当 ≤ 0 时，由(2)知， 在 0, + ∞ 上单调递减，所以 < 1 = 0．
∴ sin 1 + 1 1 < 0 对 1, + ∞ 恒成立，
又当 > 1 时，由(1) 1 1知， 1 = 1 < ，
1
取 = + 1 时， sin 1 + 1 = sin + 1 1 +
1
+1
> 0，
则与已知不等式矛盾．
当 0 < < 1 时， ′( ) = ′( ) ( 1) + 1 1 1 1′ 2 = 2 cos( 1) + 2
1 ，
2
∴ ′ 1 = 1 < 0，由(1)知 ′ ≥ 2 1 +
1 1 2 =
2 1 1
2 ，
当 2 1 > 0 时， > 1 ，取 = 1 +
1 1
，则 ′ 1 + > 0，
1
从而由函数零点存在定理知，存在 0 ∈ 1,1 + ，使 ′ 0 = 0，
当 ∈ 1, 0 时， ′ < 0， 在 1, 0 单调递减， < 1 = 0，与已知不等式矛盾．
2
≥ 1 ≥ 2 1 + 1 1 = 2 1 1 ≥ 2 1
2 1
当 时， ′ 2 2 2 > 0，
∴ 在 1, + ∞ 单调递增，从而， > 1 = 0，满足题意．
综上可知 ≥ 1．
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21.(1) 5解：由题意得，数列 2 : 1,1,3, 4，数列 2 2 : 1, 3 , 3, 4，
: 4 , 5故数列 1 2 2 3 3 , 3, 4．
(2) + 证明：若对 ： 1, 2, , ≥ 3 进行 变换，即将 1替换为 1 22 ，其余项不变，
由 1+ 21 < 2，得 2 < 2，故 1 仍为递增数列；
+ + 若对 进行 = 2,3, , 1 变换，即将 替换为 1 +1 3 ，其余项不变，
1+ + 由 +1 1 < < +1，很 1 < 3 < +1，故 仍为递增数列：
若对 1+ 进行 变换，即将 替换为 2 ，其余项不变，
+
由 1 < ，得 < 1 1 2 ，故 仍为递增数列．
综上，对于任意 = 1,2, , ，对 进行 变换后 仍为递增数列．
以此类推，知对 进行有限次 变换后，所得的数列 为递增数列．
(3)解：记数列 ： 1, 2, , 中去除等于 0 的项后得到的数列为 ′(其余项相对位置不变，下同)，
中去除为 0 的项后得到的数列为 ′ ．
设 ′中相邻两项乘积为负数的有 对， ′ 中相邻两项乘积为负数的有 ′对，
则 0 ≤ ≤ 1．
+ 如果对 进行 1变换，即将 1 21替换为 2 ，
此时若 1与 2同号，则数列 ′ 中相邻两项乘积为负数的仍有 对，即 ′ = ；
若 1与 2异号，则 ′ = 或 ′ = 1；
若 + 1与 2中有 0，则 1 22 一定不与 2异号，故 ′ = ．
+ +
如果对 进行 = 2,3, , 1 变换，即将 替换为 1 +13 ，
+ + 此时若 1 +1 与 3 同号，则 ′ = ；
1+ + 若 与 +1 3 异号，有以下三种情况：
①若 1与 +1同号，显然 也与 1异号，则 ′ = 2；
②若 1与 +1异号，则 ′ = ；
③若 1与 +1中有 0，只有一个 0，
不妨设 1 = 0，则 与 +1异号，故 ′ = ，或 ′ = 1，或 ′ = 2．
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1+ + 若 与 +1 3 同为 0，则 ′ = ；
若 = 0 ， 1+ + +1 1+ + +1 3 ≠ 0，不妨设 1 ≥ +1 ，则 3 与 1同号，故 ′ = ；
若 ≠ 0 ， 1+ + +1 3 = 0，不妨设 1 ≥ +1 ，则 与 1异号，故 ′ = 或 ′ = 2；
对 进行 变换与进行 1变换类似．
综上，对 进行一次 变换后，0 ≤ ′ ≤ ≤ 1．
以此类推，对 进行 2025 次 变换，每一次变换后所得数列中去除等于 0 的项后相邻两项乘积为负数的对
数 ′′比变换前的并不会增大，且 ′′ ≤ 1．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是 1变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于 0 的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少 1 对．
所以对 进行 2025 次 变换时，其第一项的正负号最多发生 1 次改变，
即 1 + 2 + + 2025 ≤ 1．
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