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河南省南阳市邓州市2024∽2025学年第一学期期终质量评估九年级
数学试卷
注意事项：1.本试卷共6页，三个大答题，满分120分，答题时间100分钟；
2.请按答题卡上注意事项的要求,直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程的根是（　　）
A．=1 B．=2 C． 2 D．
3．若关于x的一元二次方程x2+8xc有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A．16 B． 16 C． 64 D． 64
4．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　）
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
6．一个不透明的袋子里装有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（　　）
A．12 B． 16 C．24 D．28
7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若△ABC的周长为6，且点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则△A′B′C′的周长为（　　）
A．12 B．24 C．32 D．36
8．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2.求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣2x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520
9．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系用“＜”表示为（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
10．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，小强一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶8千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小强发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么A，C两地的距离为（　　）
A．4千米 B．(+4) 千米 C．千米 D．6千米
二．填空题（每小题3分，共15分）
11.计算：+＝　 　．
12.将抛物线y＝先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13.春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度i＝1：24，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路 米了”．
14.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC、BD相交于点O，E为BC边的中点，连接DE交AC于点F．若sin∠OAD=，则CF的长为　　 ．
15.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E为边AB上一点（不与点A，B重合），将矩形ABCD沿CE折叠，使点B的对应点F落在矩形ABCD的某条对称轴上时，则BE的长为 ．
三．解答题（共8小题,满分75分）
16．（10分）（1）tan﹣+．
（2）解方程：（x+4）（x﹣1）＝6．
17．（8分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“冬”的概率为 　　；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
18．（9分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x2+12x﹣6＝0
二次项系数化为1，得x2+4x﹣2＝0 ......................... 第一步
移项，得x2+4x＝2.........................第二步
配方，得x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6.......................第三步
由此，可得x+2=......................... 第四步
所，. ....................... 第五步
任务一、填空：
①“第二步”变形的数学依据是 　 ；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是
；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第　　 步开始出现错误，错误的原因是 .
任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：4x2﹣12x﹣2＝0．
19．（9分）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．河南省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距189m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）
20．（9分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣1），（3，0）．
（1）求b，c的值；
（2）直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2+bx+c的图象；
（3）根据图象直接写出： 当0x5时，y的取值范围是 ；
（4）若点M（﹣3，y1），N（x2，y2）均在该函数图象上，当y2＞y1时，直接写出x2的取值范围为 　　 ．
21.（10分）为了巩固脱贫攻坚成果，建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克；若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克x元，每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；（要求化为一般形式，并写出自变量的取值范围）
（2）当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得170元的销售利润，销售价应定为多少元？
22.(10分）类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．
求证：BD＝CE．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请求出的值．
（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
且tan∠ACB＝tan∠AED＝，连接BD，CE．
请直接写出：
①若BD＝6,则CE＝ ；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G，则cos∠BFC的值为 ．
23.（10分）综合与探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°∠B=60°，，点D在射线BC上，点E在射线CA上，动点P在射线BC上，沿B→C→D→E方向，以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点E时停止．以AP为边作正方形APFG．设点P的运动时间为x秒，正方形APFG的面积为y，探究y与x的关系．
填空：如图1，当点P由点B运动到点D时，
① 当x＝2时，y＝　 　；
② y关于x的函数解析式为 　 ．（不必写出自变量的取值范围）
（2）如图2，当点P由点D运动到点E时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图3所示的图象段，请根据图象信息：
①求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
②当正方形APFG的面积最小时，直接写出的比值为 ．
邓州市2024∽2025学年第一学期期终质量评估九年级
数学试卷参考答案
1．C 2．D 3．A 4．C 5． D 6．C 7．A 8． C 9．B 10．B
11． 12． 13.260
14. 4 15． 或（填对一个得2分）.
16.解：（1）原式=﹣+2=2. ...........................5分.
（2）原方程整理得：x2+3x﹣10＝0. ..........................7分
∵﹣4ac=9﹣4=49,
∴ =. .........................9分
∴x1＝2，x2＝5．.........................10分（注解法不唯一）
17.（8分）解：（1） ..............................................3分
（2）画树状图如下：
..................................................6分
共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的结果有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的概率为＝. ....................................8分
18.（9分）解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式（这两种填法均给分）.................................1分
②+2ab+=.................................2分
③ 四...............................3分
没有正确运用平方根的意义. ...............................4分（意思正确即可）
任务二：解：原方程可化为：x2-3x＝，
配方，得：x2-3x+＝+ , 即 =................................7分
∴x =................................8分
∴ ， .．.................................9分
19．（9分）解：连接DF交AH于点G，则DF⊥AH.........................................1分
设AG＝x m，由题意得：CD＝EF＝GH＝1.6m，DF＝CE＝189m，
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴DG＝AG＝x，..............................................3分
在Rt△AFG中，∠AFG＝53°，
∴FG＝ ≈x，.......................................5分
∴xx=189
解得：x＝108.......................................7分
∴AH＝AG+GH＝108+1.6＝109.6（m），
答：风电塔筒AH的高度约为109.6m．....................................9分
20．（9分）解：（1）将（2，﹣1），（3，0）代入 y＝x2+bx+c，
，
解得：..............................................................3分
（2）图象如图所示；...........................................6分
（3）﹣1y8；...........................................8分
（4）x2＜﹣3或x2＞7 ...........................................9分.
21.（10分）解：（1）根据题意可得：w＝（x﹣20）[32﹣2（x﹣26）]
＝（x﹣20）（﹣2x+84）
＝﹣2x2+124x﹣1680 （ 20 42）...................................................4分
（2）w＝﹣2x2+124x﹣1680
＝﹣2（x﹣31）2+242 （ 20 42）...................................................5分
∵a=﹣2, 开口向下
∴当x＝31时，w有最大值242，
答：当销售价定为31元/千克时，每天可获最大销售利润242元；.........................7分
（3）当w＝170时，可得方程：﹣2（x﹣31）2+242＝170
解这个方程，得x1＝25，x2＝37（舍去）
答：当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润170元．..................10分
22.(10分）（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE. ........................................3分.
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，.......................................6分.
∴＝＝＝. .................................7分
（3）①10；.................................9分
②．..................................10分
23.（10分）解：（1）①12...............................1分
②y＝（x﹣2）2+12...............................3分（注：不化一般形式不扣分）
（2）①由图象可知，当点P运动到点D时，S＝48.
∴（x﹣2）2+12＝48.
解得：＝8，＝﹣4.（舍去）
∴当点P由点D运动到点E时，二次函数图象过点（8，48），............................5分
由图象知顶点坐标为（14，12），所以可设y＝a（x﹣14）2+12，
将点（8，48）代入，得48＝a（8﹣14）2+12，解得a＝1，.........................6分
∴y关于x的函数解析式为y＝（x﹣14）2+12. （ 8 20） ...................................8分
（注：不化一般形式不扣分，自变量取值范围写错扣1分）.
②....................................10分

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