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2024-2025学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷（华师大版）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的两个根为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A B. C. D.
4. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（ ）．
A. a B. C. D.
5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（ ）
A B.
C. D.
8. 如图，一次函数与x轴，y轴交于A，B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接，，C是中点，平行交于D．则长度为（）
A. 2 B. C. 2.5 D. 无法确定
9. 小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米
A. 4.3 B. 4.1 C. 4 D. 3.8
10. 如图，E是矩形边延长线上一点，连接，分别交，于F，G，已知，，，设．则在①．②．③．④中，正确的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出一个一元二次方程，满足其中一个根是1，这个方程可以是__________．
12. 如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是____________．
13. 已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是________（填“>”或“”或“<”）
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形两个顶点坐标是，，另一个顶点C在y轴的正半轴上，则第四个顶点D的坐标是________．
15. 中，，，，点D是平面上一点，D，A在的两旁，且．如果与相似，则________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16 解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：．
17. 如图，在中，，，，求，的长．
18. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
（1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ；
（2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率．
19. 已知抛物线．（其中）
（1）求该抛物线的对称轴及其顶点坐标；
（2）①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式；
②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出的取值范围．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上．
（1）求的值；
（2）在不添加字母的情况下填空并证明．________．
证明：
21. 龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．它坐落在龙门山突然断裂的“伊阙”上，伊河横流，把山分成东西两座．资料显示，西山山顶A比河谷高出116米；东山又名香山，山顶D比河谷高出166米，小明游完西山石窟后，渡河从B到C，然后沿坡度是1：0.75的登上东山山顶，俯瞰西山山顶A的俯角为．已知，量得西山的坡角是76°，求河宽．（参考数据：，，）
22. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为．
（1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________；
（2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？
（3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距．
23. 如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E．
（1） 小明发现，不但存在，而且还能够得出：的长为________，的长为________；
（2）将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度；
（3）在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度．
2024-2025学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷（华师大版）
1. C 2. B 3. C 4. B 5.A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. D
11. （答案不唯一） 12. 13. 14. 15. 9或24
16. （1）
（2）
17. 解：如图，过B作于D，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
18. （1）
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1
2
3
共有12种等可能的结果，其中所得两数之和为奇数的结果有∶、、、、、，共6种，
∴两数之和为奇数的概率为．
19. 解：（1），
对称轴为直线，
把代入，
顶点坐标为.
（2）①线段的中点坐标为，，
中点坐标为，
抛物线经过线段的中点，
，
，
抛物线的解析式为：.
②a的取值范围为．
20. （1）解：由图可知，，，，
∵，
∴，
∴.
∴.
（2）BEA
21. 解：如图，过作于E，于H，过D作于F，
则米，米，
∴米
∵，
∴米
∵坡度是1：0.75，
∴米，
∵
∴米．
∴（米）
即河宽等于246.5米．
22. （1）
解：（2）由（1）可知，，
∴对称轴直线，
∴此时，，
，
∴此款新型汽车刹车距离合格.
（3），
，
，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时汽车停止，
，
当汽车与障碍物相距时，，
即，
解得，（不符合题意，舍去），
∴汽车与障碍物相距时，．
23. （1）3 4
解：（2）∵中，，，，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）由（2）可知：在旋转过程始终有，
∴，
如图：当点E在线段的延长线上时，设交点是O，则，
∴，
设，则，，
在中，，解得：（已舍弃负值），
∴；
如图，当点E在线段的上时，
在旋转过程中始终有，
∴，
设交点是O，则，
∴∠EBD=∠DAE=90°
设，则，，
在中，，解得：（已舍弃负值），
∴．
综上，当B、C、E共线时，的长度是或．

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