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2024年秋期期终九年级数学巩固与练习
（满分：120分 时间：100分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
2. 下列说法不正确的是（　　）
A. “过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件
B. “三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件
C. “以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件
D. “两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根 D. 不能确定
4. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. 2 B. C. 8 D.
6. 如图，中弦、相交于点，若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线，下列说法中正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而减小
8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小到原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若有意义，则能取的最小整数值是_____________．
12. 的最长弦为，则的半径长为______．
13. 为弘扬中华传统文化，我校准备开展学习传统手工技艺社团活动，共有“剪纸”、“木版画雕刻”、“陶艺创作”、“皮影制作”4个社团供学生选择．甲、乙两人随机各选一个社团，他们刚好选到相同社团的概率是______．
14. 建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为______米．
15. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和面积都为6，那么的面积为_______．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
18. 求证：三边成比例的两个三角形相似．
如图：已知在和中，，求证：．
19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元．
（1）填表（不需化简）：
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200
提价后 __________ __________ __________
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用）
20. 是的弦，半径、分别交于点E、F，且，连接、．
（1）求证：；
（2）求证：．
21. 如图，甲在楼房上点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为．
（1）求斜坡l的坡度；
（2）求点M与点N的高度差．
22. 如图，矩形的一条边，将矩形折叠，使顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点．
（1）找出图中一对相似三角形（不全等）并加以证明；
（2）当时．
①求（1）中相似三角形的相似比；
②为中点，动点沿从点向点运动，当__________时，以、、为顶点的三角形与相似．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
2024年秋期期终九年级数学巩固与练习
1. C 2. D 3. C 4. C 5.C 6. C 7. D 8.D 9. A 10. B
11. 12.4 13. 14. 15. 20
16.解：（1）原式
；
（2）原式
．
17. （1），；
（2），；
18. 证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 解：（1）；；；
（2）依题意得：，
整理，得，
解得，．
当时，有游客居住的客房数量是：（间）．
当时，有游客居住客房数量是：（间）．
所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）．
答：每间客房的定价应为元．
20. (1)证明：过O作于M，
(2)证明：，
，
，
21. 解：（1）如图，过点作于点，
∵点到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
则斜坡的坡度为．
（2）如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
由题意可知，，
∴，，
∴，
答：点与点的高度差为．
22. 解： （1）．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可知：，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠可知，
在中，
∴，
由（1）可知，
∴相似比为，
（由（1）可知，∴相似比为：）
②或．理由如下：
∵为中点，
，
分两种情况:当时，如图，
，
，
；
当时，如图，
，即，
解得，
；
综上可知，或．
23. 解：（1）把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．

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